📐 Vecteurs dans l'espace - Exercice 3 corrigé
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Exercice 3
Soient \(I(0,1,5)\), \(J(2,4,5)\), \(K(4,1,5)\) et \(L(0,-1,5)\) des points dans l'espace et \(\vec{p}(3,1,2)\) et \(\vec{q}(1,3,2)\) deux vecteurs.
- Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\).
- Calculer la distance \(KL\).
- Calculer la norme de \(\vec{p}\).
- Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{KL}\).
- Déterminer le produit vectoriel \(\overrightarrow{IJ}\wedge\overrightarrow{KL}\).
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Corrigé Exercice 3
1 Vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\)
Données utilisées : on a :
\[ I(0,1,5),\quad J(2,4,5),\quad K(4,1,5),\quad L(0,-1,5) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{IJ}(2-0,\;4-1,\;5-5) \Rightarrow \overrightarrow{IJ}(2,\;3,\;0) \]
\[ \overrightarrow{KL}(0-4,\;-1-1,\;5-5) \Rightarrow \overrightarrow{KL}(-4,\;-2,\;0) \]
2 Distance \(KL\)
Données utilisées : on a :
\[ K(4,1,5),\quad L(0,-1,5) \]
\[ \overrightarrow{KL}(-4,\;-2,\;0) \]
Calcul :
\[ KL = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
3 Norme de \(\vec{p}\)
Données utilisées : on a :
\[ \vec{p}(3,1,2) \]
Calcul :
\[ \|\vec{p}\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14} \]
4 Produit scalaire \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{KL}\)
Données utilisées : on a :
\[ \overrightarrow{IJ}(2,\;3,\;0),\quad \overrightarrow{KL}(-4,\;-2,\;0) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{KL} = (2)\times(-4) + (3)\times(-2) + (0)\times(0) = -8 - 6 = -14 \]
5 Produit vectoriel \(\overrightarrow{IJ}\wedge\overrightarrow{KL}\)
Données utilisées : on a :
\[ \overrightarrow{IJ}(2,\;3,\;0),\quad \overrightarrow{KL}(-4,\;-2,\;0) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{IJ}\wedge\overrightarrow{KL} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & -2 & 0 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (3\times0 - 0\times(-2))\vec{i} - (2\times0 - 0\times(-4))\vec{j} + (2\times(-2) - 3\times(-4))\vec{k} \]
\[ = 0\vec{i} - 0\vec{j} + (-4 + 12)\vec{k} \]
\[ = 8\vec{k} \]
Voir aussi
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