📐 Plan dans l'espace - Équation cartésienne
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Exercice 4
Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1,2,3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3,2,4)\).
✅
Réponse
Méthode :
Le plan \((P)\) passe par \(A(1,2,3)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(3,2,4)\).
Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((P)\), on a :
\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]
avec \(\overrightarrow{AM}(x-1,\;y-2,\;z-3)\).
Calculons le produit scalaire :
\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) = 0 \]
Développons :
\[ 3x - 3 + 2y - 4 + 4z - 12 = 0 \]
Réduisons :
\[ 3x + 2y + 4z - 19 = 0 \]
Donc l'équation cartésienne du plan \((P)\) est :
\[ \boxed{(P) : 3x + 2y + 4z - 19 = 0} \]