📐 Vecteurs dans l'espace - Exercice 2 corrigé
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Exercice 2
Soient \(E(1,2,4)\), \(F(3,5,4)\), \(G(5,2,4)\) et \(H(1,0,4)\) des points dans l'espace et \(\vec{a}(1,3,2)\) et \(\vec{b}(2,1,3)\) deux vecteurs.
- Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{GH}\).
- Calculer la distance \(GH\).
- Calculer la norme de \(\vec{a}\).
- Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{GH}\).
- Déterminer le produit vectoriel \(\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{GH}\).
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Corrigé Exercice 2
1 Vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{GH}\)
Données utilisées : on a :
\[ E(1,2,4),\quad F(3,5,4),\quad G(5,2,4),\quad H(1,0,4) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{EF}(3-1,\;5-2,\;4-4) \Rightarrow \overrightarrow{EF}(2,\;3,\;0) \]
\[ \overrightarrow{GH}(1-5,\;0-2,\;4-4) \Rightarrow \overrightarrow{GH}(-4,\;-2,\;0) \]
2 Distance \(GH\)
Données utilisées : on a :
\[ G(5,2,4),\quad H(1,0,4) \]
\[ \overrightarrow{GH}(-4,\;-2,\;0) \]
Calcul :
\[ GH = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
3 Norme de \(\vec{a}\)
Données utilisées : on a :
\[ \vec{a}(1,3,2) \]
Calcul :
\[ \|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14} \]
4 Produit scalaire \(\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{GH}\)
Données utilisées : on a :
\[ \overrightarrow{EF}(2,\;3,\;0),\quad \overrightarrow{GH}(-4,\;-2,\;0) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{GH} = (2)\times(-4) + (3)\times(-2) + (0)\times(0) = -8 - 6 = -14 \]
5 Produit vectoriel \(\overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{GH}\)
Données utilisées : on a :
\[ \overrightarrow{EF}(2,\;3,\;0),\quad \overrightarrow{GH}(-4,\;-2,\;0) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{EF}\wedge\overrightarrow{GH} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & -2 & 0 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (3\times0 - 0\times(-2))\vec{i} - (2\times0 - 0\times(-4))\vec{j} + (2\times(-2) - 3\times(-4))\vec{k} \]
\[ = 0\vec{i} - 0\vec{j} + (-4 + 12)\vec{k} \]
\[ = 8\vec{k} \]