📐 Plan dans l'espace - Équation cartésienne
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Exercice 5
Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(B(-1,0,2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1,-2,3)\).
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Corrigé Exercice 2
Méthode :
Le plan \((P)\) passe par \(B(-1,0,2)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1,-2,3)\).
Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((P)\), on a :
\[ \overrightarrow{BM} \cdot \vec{n} = 0 \]
avec \(\overrightarrow{BM}(x+1,\;y-0,\;z-2) = (x+1,\;y,\;z-2)\).
Calculons le produit scalaire :
\[ \overrightarrow{BM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1(x+1) - 2(y) + 3(z-2) = 0 \]
Développons :
\[ x + 1 - 2y + 3z - 6 = 0 \]
Réduisons :
\[ x - 2y + 3z - 5 = 0 \]
Donc l'équation cartésienne du plan \((P)\) est :
\[ \boxed{(P) : x - 2y + 3z - 5 = 0} \]