📐 Plan dans l'espace - Équation cartésienne
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Exercice 6
Déterminer l'équation cartésienne du plan \((Q)\) passant par \(C(0,3,-1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2,5,-4)\).
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Corrigé Exercice 3
Méthode :
Le plan \((Q)\) passe par \(C(0,3,-1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(2,5,-4)\).
Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((Q)\), on a :
\[ \overrightarrow{CM} \cdot \vec{n} = 0 \]
avec \(\overrightarrow{CM}(x-0,\;y-3,\;z+1) = (x,\;y-3,\;z+1)\).
Calculons le produit scalaire :
\[ \overrightarrow{CM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 2(x) + 5(y-3) - 4(z+1) = 0 \]
Développons :
\[ 2x + 5y - 15 - 4z - 4 = 0 \]
Réduisons :
\[ 2x + 5y - 4z - 19 = 0 \]
Donc l'équation cartésienne du plan \((Q)\) est :
\[ \boxed{(Q) : 2x + 5y - 4z - 19 = 0} \]