Plan dans l'espace - Équation cartésienne | Exercices 1, 2, 3 corrigés
📐 Plan dans l'espace - Équation cartésienne
📝 Exercice 7

Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1,0,1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3,5,4)\).

✅ Corrigé Exercice 7

Méthode :

Le plan \((P)\) passe par \(A(1,0,1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(3,5,4)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((P)\), on a :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]

avec \(\overrightarrow{AM}(x-1,\;y-0,\;z-1) = (x-1,\;y,\;z-1)\).

Calculons le produit scalaire :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 3(x-1) + 5(y) + 4(z-1) = 0 \]

Développons :

\[ 3x - 3 + 5y + 4z - 4 = 0 \]

Réduisons :

\[ 3x + 5y + 4z - 7 = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((P)\) est :

\[ \boxed{(P) : 3x + 5y + 4z - 7 = 0} \]
📝 Exercice 8

Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1,0,1)\) et dirigé par les deux vecteurs \(\vec{u}(3,5,4)\) et \(\vec{v}(1,1,1)\).

✅ Corrigé Exercice 8

Méthode :

Le plan \((P)\) passe par \(A(1,0,1)\) et est dirigé par \(\vec{u}(3,5,4)\) et \(\vec{v}(1,1,1)\).

Un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan est donné par le produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\).

Calculons \(\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}\) :

\[ \vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (5\times1 - 4\times1)\vec{i} - (3\times1 - 4\times1)\vec{j} + (3\times1 - 5\times1)\vec{k} \]
\[ = (5 - 4)\vec{i} - (3 - 4)\vec{j} + (3 - 5)\vec{k} \]
\[ = (1)\vec{i} - (-1)\vec{j} + (-2)\vec{k} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \]
\[ \vec{n}(1,\;1,\;-2) \]

Maintenant, utilisons la formule \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) avec \(A(1,0,1)\) et \(\vec{n}(1,1,-2)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((P)\), on a :

\[ \overrightarrow{AM}(x-1,\;y,\;z-1) \]
\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1(x-1) + 1(y) - 2(z-1) = 0 \]

Développons :

\[ x - 1 + y - 2z + 2 = 0 \]

Réduisons :

\[ x + y - 2z + 1 = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((P)\) est :

\[ \boxed{(P) : x + y - 2z + 1 = 0} \]
📝 Exercice 9

Soient \(A(1,2,3)\), \(B(5,5,2)\) et \(C(1,1,1)\). Déterminer l'équation cartésienne du plan \((ABC)\).

✅ Corrigé Exercice 9

Méthode :

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(1,2,3)\) et contient les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan est donné par \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB}(5-1,\;5-2,\;2-3) = (4,\;3,\;-1) \]
\[ \overrightarrow{AC}(1-1,\;1-2,\;1-3) = (0,\;-1,\;-2) \]

Calculons \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (3\times(-2) - (-1)\times(-1))\vec{i} - (4\times(-2) - (-1)\times0)\vec{j} + (4\times(-1) - 3\times0)\vec{k} \]
\[ = (-6 - 1)\vec{i} - (-8 - 0)\vec{j} + (-4 - 0)\vec{k} \]
\[ = (-7)\vec{i} - (-8)\vec{j} + (-4)\vec{k} = -7\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k} \]
\[ \vec{n}(-7,\;8,\;-4) \]

Maintenant, utilisons la formule \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) avec \(A(1,2,3)\) et \(\vec{n}(-7,8,-4)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((ABC)\), on a :

\[ \overrightarrow{AM}(x-1,\;y-2,\;z-3) \]
\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow -7(x-1) + 8(y-2) - 4(z-3) = 0 \]

Développons :

\[ -7x + 7 + 8y - 16 - 4z + 12 = 0 \]

Réduisons :

\[ -7x + 8y - 4z + (7 - 16 + 12) = 0 \]
\[ -7x + 8y - 4z + 3 = 0 \]

On peut multiplier par \(-1\) pour obtenir une écriture plus simple :

\[ 7x - 8y + 4z - 3 = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((ABC)\) est :

\[ \boxed{(ABC) : 7x - 8y + 4z - 3 = 0} \]
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