Géométrie dans l'espace - Exercices corrigés :10 - 11 -12 - 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Plan dans l'espace - Équation cartésienne | Exercices 10, 11,12 corrigés

📐 Plan dans l'espace - Équation cartésienne

📝 Exercice 10

Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(2,3,4)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1,2,5)\).

✅ Corrigé Exercice 10

Méthode :

Le plan \((P)\) passe par \(A(2,3,4)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1,2,5)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((P)\), on a :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]

avec \(\overrightarrow{AM}(x-2,\;y-3,\;z-4)\).

Calculons le produit scalaire :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1(x-2) + 2(y-3) + 5(z-4) = 0 \]

Développons :

\[ x - 2 + 2y - 6 + 5z - 20 = 0 \]

Réduisons :

\[ x + 2y + 5z - 28 = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((P)\) est :

\[ \boxed{(P) : x + 2y + 5z - 28 = 0} \]

📝 Exercice 11

Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(2,1,3)\) et dirigé par les deux vecteurs \(\vec{u}(2,1,3)\) et \(\vec{v}(4,2,1)\).

✅ Corrigé Exercice 11

Méthode :

Le plan \((P)\) passe par \(A(2,1,3)\) et est dirigé par \(\vec{u}(2,1,3)\) et \(\vec{v}(4,2,1)\).

Un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan est donné par le produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\).

Calculons \(\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}\) :

\[ \vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (1\times1 - 3\times2)\vec{i} - (2\times1 - 3\times4)\vec{j} + (2\times2 - 1\times4)\vec{k} \]

\[ = (1 - 6)\vec{i} - (2 - 12)\vec{j} + (4 - 4)\vec{k} \]

\[ = (-5)\vec{i} - (-10)\vec{j} + (0)\vec{k} = -5\vec{i} + 10\vec{j} + 0\vec{k} \]

\[ \vec{n}(-5,\;10,\;0) \quad \text{ou simplement} \quad \vec{n}(-1,\;2,\;0) \]

Maintenant, utilisons la formule \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) avec \(A(2,1,3)\) et \(\vec{n}(-1,2,0)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((P)\), on a :

\[ \overrightarrow{AM}(x-2,\;y-1,\;z-3) \]

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow -1(x-2) + 2(y-1) + 0(z-3) = 0 \]

Développons :

\[ -x + 2 + 2y - 2 = 0 \]

Réduisons :

\[ -x + 2y = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -x + 2y = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((P)\) est :

\[ \boxed{(P) : -x + 2y = 0 \quad \text{ou} \quad x - 2y = 0} \]

📝 Exercice 12

Soient \(A(2,1,0)\), \(B(3,2,4)\) et \(C(1,0,2)\). Déterminer l'équation cartésienne du plan \((ABC)\).

✅ Corrigé Exercice 12

Méthode :

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(2,1,0)\) et contient les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan est donné par \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB}(3-2,\;2-1,\;4-0) = (1,\;1,\;4) \]

\[ \overrightarrow{AC}(1-2,\;0-1,\;2-0) = (-1,\;-1,\;2) \]

Calculons \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (1\times2 - 4\times(-1))\vec{i} - (1\times2 - 4\times(-1))\vec{j} + (1\times(-1) - 1\times(-1))\vec{k} \]

\[ = (2 + 4)\vec{i} - (2 + 4)\vec{j} + (-1 + 1)\vec{k} \]

\[ = 6\vec{i} - 6\vec{j} + 0\vec{k} = 6(\vec{i} - \vec{j}) \]

\[ \vec{n}(6,\;-6,\;0) \quad \text{ou simplement} \quad \vec{n}(1,\;-1,\;0) \]

Maintenant, utilisons la formule \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) avec \(A(2,1,0)\) et \(\vec{n}(1,-1,0)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((ABC)\), on a :

\[ \overrightarrow{AM}(x-2,\;y-1,\;z-0) \]

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1(x-2) - 1(y-1) + 0(z) = 0 \]

Développons :

\[ x - 2 - y + 1 = 0 \]

Réduisons :

\[ x - y - 1 = 0 \]