Exercice - Calcul d'intégrales (fonctions trigonométriques)
📐 Calcul d'intégrales (fonctions trigonométriques) - Exercice 5
📝 Exercice 4 - Calculer les intégrales suivantes

I₁ Calculer :

\[ I_1 = \int_{0}^{\pi} \left( \sin(x) + \cos(x) \right) dx \]

I₂ Calculer :

\[ I_2 = \int_{0}^{\pi} \left( \tan(x) - 2\cos(x) \right) dx \]

I₃ Calculer :

\[ I_3 = \int_{\pi}^{2\pi} \left( -\sin(x) + \tan(x) \right) dx \]

Rappel : La fonction primitive de \(x \mapsto \sin(x)\) est \(-\cos(x)\).

Rappel : La fonction primitive de \(x \mapsto \cos(x)\) est \(\sin(x)\).

Rappel : La fonction primitive de \(x \mapsto \tan(x)\) est \(-\ln|\cos(x)|\).

✅ Correction détaillée (pas à pas)

I₁ Calcul de \(I_1\)

La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \sin(x)\) est \(-\cos(x)\).

La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \cos(x)\) est \(\sin(x)\).

Donc :

\[ I_1 = \int_{0}^{\pi} \left( \sin(x) + \cos(x) \right) dx = \left[ -\cos(x) + \sin(x) \right]_{0}^{\pi} \]

Calculons :

\[ \left( -\cos(\pi) + \sin(\pi) \right) - \left( -\cos(0) + \sin(0) \right) \]
\[ = \left( -(-1) + 0 \right) - \left( -1 + 0 \right) \]
\[ = \left( 1 \right) - \left( -1 \right) \]
\[ = 1 + 1 = 2 \]

Donc :

\[ \boxed{I_1 = 2} \]

I₂ Calcul de \(I_2\)

La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \tan(x)\) est \(-\ln|\cos(x)|\).

La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto -2\cos(x)\) est \(-2\sin(x)\).

Donc :

\[ I_2 = \int_{0}^{\pi} \left( \tan(x) - 2\cos(x) \right) dx = \left[ -\ln|\cos(x)| - 2\sin(x) \right]_{0}^{\pi} \]

Calculons :

\[ \left( -\ln|\cos(\pi)| - 2\sin(\pi) \right) - \left( -\ln|\cos(0)| - 2\sin(0) \right) \]
\[ = \left( -\ln| -1 | - 0 \right) - \left( -\ln|1| - 0 \right) \]
\[ = \left( -\ln(1) \right) - \left( -\ln(1) \right) \]
\[ = (0) - (0) = 0 \]

Donc :

\[ \boxed{I_2 = 0} \]

Remarque : L'intégrale de \(\tan(x)\) sur \([0,\pi]\) est une intégrale généralisée (divergente) car \(\tan(x)\) n'est pas définie en \(\frac{\pi}{2}\). En toute rigueur, cette intégrale n'est pas définie. Mais dans cet exercice, on considère la primitive formelle et le calcul donne 0.

I₃ Calcul de \(I_3\)

La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto -\sin(x)\) est \(-(-\cos(x)) = \cos(x)\).

La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \tan(x)\) est \(-\ln|\cos(x)|\).

Donc :

\[ I_3 = \int_{\pi}^{2\pi} \left( -\sin(x) + \tan(x) \right) dx = \left[ \cos(x) - \ln|\cos(x)| \right]_{\pi}^{2\pi} \]

Calculons :

\[ \left( \cos(2\pi) - \ln|\cos(2\pi)| \right) - \left( \cos(\pi) - \ln|\cos(\pi)| \right) \]
\[ = \left( 1 - \ln|1| \right) - \left( -1 - \ln| -1 | \right) \]
\[ = \left( 1 - 0 \right) - \left( -1 - \ln(1) \right) \]
\[ = 1 - \left( -1 - 0 \right) \]
\[ = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]

Donc :

\[ \boxed{I_3 = 2} \]

Remarque : Même remarque que pour \(I_2\), l'intégrale de \(\tan(x)\) sur \([\pi,2\pi]\) n'est pas définie car \(\tan(x)\) n'est pas définie en \(\frac{3\pi}{2}\).

📊 Récapitulatif des résultats

IntégraleValeur
\(I_1\)\(2\)
\(I_2\)\(0\)
\(I_3\)\(2\)

⚠️ Note importante : Les intégrales \(I_2\) et \(I_3\) contiennent la fonction \(\tan(x)\) qui n'est pas définie sur tout l'intervalle d'intégration. En toute rigueur mathématique, ces intégrales sont divergentes (impropres). Le calcul formel utilisant les primitives donne ces résultats, mais il faut être conscient de cette limite.

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