Exercices sur les intégrales - Exercice 6 - - Dima20

📐 Calcul d'intégrales (forme \(u'(x) \cdot [u(x)]^n\)) - Exercice 4

📌 Rappel de la formule

La fonction primitive de \(x \longmapsto u'(x) \cdot [u(x)]^n\) (avec \(n \neq -1\)) est :

\[ \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C \]

On cherche donc à identifier dans chaque intégrale une expression de la forme \(u'(x) \times [u(x)]^n\).

📝 Exercice 6 - Calculer les intégrales suivantes

I₁ Calculer :

\[ I_1 = \int_{0}^{1} (x+1)(x^2+2x+1)^4 \, dx \]

I₂ Calculer :

\[ I_2 = \int_{0}^{1} (9x^2-18)(x^3-6x+1)^3 \, dx \]

I₃ Calculer :

\[ I_3 = \int_{0}^{1} (9x^2-18)(x^3-6x+1)^5 \, dx \]

I₄ Calculer :

\[ I_4 = \int_{0}^{1} (e^x+x)(2e^x+x^2+1)^4 \, dx \]

I₅ Calculer :

\[ I_5 = \int_{0}^{1} \sin(x) \cdot (2\cos(x)+1)^5 \, dx \]

Rappel : \(\displaystyle \int u'(x) [u(x)]^n dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C\) pour \(n \neq -1\).

✅ Correction détaillée (pas à pas)

I₁ Calcul de \(I_1\)

On pose \(u(x) = x^2+2x+1\).

Alors \(u'(x) = 2x+2 = 2(x+1)\).

On a \((x+1) = \frac{1}{2} u'(x)\).

Donc \((x+1)(x^2+2x+1)^4 = \frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^4\).

La primitive est \(\frac{1}{2} \times \frac{[u(x)]^5}{5} = \frac{1}{10} (x^2+2x+1)^5\).

Donc :

\[ I_1 = \left[ \frac{1}{10} (x^2+2x+1)^5 \right]_{0}^{1} \]

Calculons :

\[ \frac{1}{10} (1^2+2\times1+1)^5 - \frac{1}{10} (0^2+2\times0+1)^5 \]

\[ = \frac{1}{10} (1+2+1)^5 - \frac{1}{10} (1)^5 \]

\[ = \frac{1}{10} (4)^5 - \frac{1}{10} \times 1 \]

\[ = \frac{1}{10} \times 1024 - \frac{1}{10} \]

\[ = \frac{1024 - 1}{10} = \frac{1023}{10} \]

Donc :

\[ \boxed{I_1 = \frac{1023}{10}} \]

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I₂ Calcul de \(I_2\)

On pose \(u(x) = x^3-6x+1\).

Alors \(u'(x) = 3x^2-6 = 3(x^2-2)\).

On a \((9x^2-18) = 9(x^2-2) = 3 \times 3(x^2-2) = 3u'(x)\).

Donc \((9x^2-18)(x^3-6x+1)^3 = 3u'(x) [u(x)]^3\).

La primitive est \(3 \times \frac{[u(x)]^4}{4} = \frac{3}{4} (x^3-6x+1)^4\).

Donc :

\[ I_2 = \left[ \frac{3}{4} (x^3-6x+1)^4 \right]_{0}^{1} \]

Calculons :

\[ \frac{3}{4} (1^3-6\times1+1)^4 - \frac{3}{4} (0^3-6\times0+1)^4 \]

\[ = \frac{3}{4} (1-6+1)^4 - \frac{3}{4} (1)^4 \]

\[ = \frac{3}{4} (-4)^4 - \frac{3}{4} \times 1 \]

\[ = \frac{3}{4} \times 256 - \frac{3}{4} \]

\[ = \frac{768}{4} - \frac{3}{4} = \frac{768 - 3}{4} = \frac{765}{4} \]

Donc :

\[ \boxed{I_2 = \frac{765}{4}} \]

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I₃ Calcul de \(I_3\)

On a la même fonction \(u(x) = x^3-6x+1\) et \(u'(x) = 3x^2-6\).

Comme précédemment, \((9x^2-18) = 3u'(x)\).

Donc \((9x^2-18)(x^3-6x+1)^5 = 3u'(x) [u(x)]^5\).

La primitive est \(3 \times \frac{[u(x)]^6}{6} = \frac{1}{2} (x^3-6x+1)^6\).

Donc :

\[ I_3 = \left[ \frac{1}{2} (x^3-6x+1)^6 \right]_{0}^{1} \]

Calculons :

\[ \frac{1}{2} (1^3-6\times1+1)^6 - \frac{1}{2} (0^3-6\times0+1)^6 \]

\[ = \frac{1}{2} (-4)^6 - \frac{1}{2} (1)^6 \]

\[ = \frac{1}{2} \times 4096 - \frac{1}{2} \]

\[ = \frac{4096 - 1}{2} = \frac{4095}{2} \]

Donc :

\[ \boxed{I_3 = \frac{4095}{2}} \]

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I₄ Calcul de \(I_4\)

On pose \(u(x) = 2e^x + x^2 + 1\).

Alors \(u'(x) = 2e^x + 2x = 2(e^x + x)\).

On a \((e^x + x) = \frac{1}{2} u'(x)\).

Donc \((e^x + x)(2e^x + x^2 + 1)^4 = \frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^4\).

La primitive est \(\frac{1}{2} \times \frac{[u(x)]^5}{5} = \frac{1}{10} (2e^x + x^2 + 1)^5\).

Donc :

\[ I_4 = \left[ \frac{1}{10} (2e^x + x^2 + 1)^5 \right]_{0}^{1} \]

Calculons :

\[ \frac{1}{10} (2e^1 + 1^2 + 1)^5 - \frac{1}{10} (2e^0 + 0^2 + 1)^5 \]

\[ = \frac{1}{10} (2e + 1 + 1)^5 - \frac{1}{10} (2\times1 + 0 + 1)^5 \]

\[ = \frac{1}{10} (2e + 2)^5 - \frac{1}{10} (3)^5 \]

\[ = \frac{1}{10} \times 2^5 (e+1)^5 - \frac{1}{10} \times 243 \]

\[ = \frac{32}{10} (e+1)^5 - \frac{243}{10} \]

\[ = \frac{16}{5} (e+1)^5 - \frac{243}{10} \]

Donc :

\[ \boxed{I_4 = \frac{16}{5}(e+1)^5 - \frac{243}{10}} \]

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I₅ Calcul de \(I_5\)

On pose \(u(x) = 2\cos(x) + 1\).

Alors \(u'(x) = -2\sin(x)\).

On a \(\sin(x) = -\frac{1}{2} u'(x)\).

Donc \(\sin(x) (2\cos(x)+1)^5 = -\frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^5\).

La primitive est \(-\frac{1}{2} \times \frac{[u(x)]^6}{6} = -\frac{1}{12} (2\cos(x)+1)^6\).

Donc :

\[ I_5 = \left[ -\frac{1}{12} (2\cos(x)+1)^6 \right]_{0}^{1} \]

Calculons :

\[ -\frac{1}{12} (2\cos(1)+1)^6 - \left( -\frac{1}{12} (2\cos(0)+1)^6 \right) \]

\[ = -\frac{1}{12} (2\cos(1)+1)^6 + \frac{1}{12} (2\times1+1)^6 \]

\[ = \frac{1}{12} \left[ (3)^6 - (2\cos(1)+1)^6 \right] \]

\[ = \frac{1}{12} \left( 729 - (2\cos(1)+1)^6 \right) \]

Donc :

\[ \boxed{I_5 = \frac{729 - (2\cos(1)+1)^6}{12}} \]

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📊 Récapitulatif des résultats

Intégrale	Valeur
\(I_1\)	\(\dfrac{1023}{10}\)
\(I_2\)	\(\dfrac{765}{4}\)
\(I_3\)	\(\dfrac{4095}{2}\)
\(I_4\)	\(\dfrac{16}{5}(e+1)^5 - \dfrac{243}{10}\)
\(I_5\)	\(\dfrac{729 - (2\cos(1)+1)^6}{12}\)

💡 Remarque : Dans \(I_5\), \(\cos(1)\) est le cosinus de 1 radian, on laisse l'expression sous cette forme exacte.

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