I₁ Calcul de \(I_1\)
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\ln|x|\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{2}{2x+1}\) est \(2 \times \frac{1}{2} \ln|2x+1| = \ln|2x+1|\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x\) est \(\frac{1}{2}x^2\).
Donc :
\[ I_1 = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{2x+1} + x \right) dx = \left[ \ln|x| + \ln|2x+1| + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} \]
Calculons :
\[ \left( \ln 2 + \ln|2\times 2+1| + \frac{2^2}{2} \right) - \left( \ln 1 + \ln|2\times 1+1| + \frac{1^2}{2} \right) \]
\[ = \left( \ln 2 + \ln 5 + \frac{4}{2} \right) - \left( 0 + \ln 3 + \frac{1}{2} \right) \]
\[ = \ln 2 + \ln 5 + 2 - \ln 3 - \frac{1}{2} \]
\[ = \ln 2 + \ln 5 - \ln 3 + 2 - \frac{1}{2} \]
\[ = \ln\left(\frac{2 \times 5}{3}\right) + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \]
\[ = \ln\left(\frac{10}{3}\right) + \frac{3}{2} \]
Donc :
\[ \boxed{I_1 = \ln\left(\frac{10}{3}\right) + \frac{3}{2}} \]
I₂ Calcul de \(I_2\)
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{2}{x}\) est \(2\ln|x|\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto -\frac{6}{3x+1}\) est \(-6 \times \frac{1}{3} \ln|3x+1| = -2\ln|3x+1|\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x\) est \(\frac{1}{2}x^2\).
Donc :
\[ I_2 = \int_{-2}^{-1} \left( \frac{2}{x} - \frac{6}{3x+1} + x \right) dx = \left[ 2\ln|x| - 2\ln|3x+1| + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{-1} \]
Calculons :
\[ \left( 2\ln|-1| - 2\ln|3(-1)+1| + \frac{(-1)^2}{2} \right) - \left( 2\ln|-2| - 2\ln|3(-2)+1| + \frac{(-2)^2}{2} \right) \]
\[ = \left( 2\ln 1 - 2\ln|-3+1| + \frac{1}{2} \right) - \left( 2\ln 2 - 2\ln|-6+1| + \frac{4}{2} \right) \]
\[ = \left( 0 - 2\ln 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( 2\ln 2 - 2\ln 5 + 2 \right) \]
\[ = -2\ln 2 + \frac{1}{2} - 2\ln 2 + 2\ln 5 - 2 \]
\[ = -4\ln 2 + 2\ln 5 + \frac{1}{2} - 2 \]
\[ = -4\ln 2 + 2\ln 5 - \frac{3}{2} \]
\[ = 2\ln 5 - 4\ln 2 - \frac{3}{2} \]
\[ = 2\ln\left(\frac{5}{4}\right) - \frac{3}{2} \]
Donc :
\[ \boxed{I_2 = 2\ln\left(\frac{5}{4}\right) - \frac{3}{2}} \]
I₃ Calcul de \(I_3\)
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{5}{x}\) est \(5\ln|x|\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{8}{-2x+1}\) est \(8 \times \frac{1}{-2} \ln|-2x+1| = -4\ln|-2x+1|\).
La fonction primitive de la fonction \(x \mapsto x\) est \(\frac{1}{2}x^2\).
Donc :
\[ I_3 = \int_{1}^{2} \left( \frac{5}{x} + \frac{8}{-2x+1} + x \right) dx = \left[ 5\ln|x| - 4\ln|-2x+1| + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} \]
Calculons :
\[ \left( 5\ln 2 - 4\ln|-2(2)+1| + \frac{2^2}{2} \right) - \left( 5\ln 1 - 4\ln|-2(1)+1| + \frac{1^2}{2} \right) \]
\[ = \left( 5\ln 2 - 4\ln|-4+1| + \frac{4}{2} \right) - \left( 0 - 4\ln|-2+1| + \frac{1}{2} \right) \]
\[ = \left( 5\ln 2 - 4\ln 3 + 2 \right) - \left( -4\ln 1 + \frac{1}{2} \right) \]
\[ = 5\ln 2 - 4\ln 3 + 2 - \left( 0 + \frac{1}{2} \right) \]
\[ = 5\ln 2 - 4\ln 3 + 2 - \frac{1}{2} \]
\[ = 5\ln 2 - 4\ln 3 + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \]
\[ = 5\ln 2 - 4\ln 3 + \frac{3}{2} \]
\[ = \ln\left(2^5\right) - \ln\left(3^4\right) + \frac{3}{2} \]
\[ = \ln\left(\frac{32}{81}\right) + \frac{3}{2} \]
Donc :
\[ \boxed{I_3 = \ln\left(\frac{32}{81}\right) + \frac{3}{2}} \]
📊 Récapitulatif des résultats
| Intégrale | Valeur |
|---|
| \(I_1\) | \(\ln\left(\dfrac{10}{3}\right) + \dfrac{3}{2}\) |
| \(I_2\) | \(2\ln\left(\dfrac{5}{4}\right) - \dfrac{3}{2}\) |
| \(I_3\) | \(\ln\left(\dfrac{32}{81}\right) + \dfrac{3}{2}\) |