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Géométrie dans l'espace - Session Normale 2009 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

📐 Géométrie dans l'espace - Session Normale 2009 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

📌 Produit scalaire, sphère et plan tangent | Série : 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

📝 Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(-2, 2, 8)\), \(B(6, 6, 0)\), \(C(2, -1, 0)\) et \(D(0, 1, -1)\) et \((S)\) l'ensemble des points \(M\) de l'espace qui vérifient \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

1 Déterminer le triple des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x + 2y + 2z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OCD)\). (0,75P^t)
2 Vérifier que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 4, 4)\) et de rayon \(6\). (0,5P^t)
3
1. a Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD)\). (0,5P^t)
2. b En déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,5P^t)
3. c Vérifier que : \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\) puis en déduire que le point \(O\) est le point de contact de la sphère \((S)\) et le plan \((OCD)\). (0,75P^t)

✅ Correction détaillée — Géométrie dans l'espace - Session Normale 2009 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

1 Produit vectoriel \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) et équation du plan \((OCD)\)

Données utilisées : on a :

\[ C(2, -1, 0),\quad D(0, 1, -1),\quad O(0, 0, 0) \]

Calculons \(\overrightarrow{OC}\) et \(\overrightarrow{OD}\) :

\[ \overrightarrow{OC}(2 - 0,\; -1 - 0,\; 0 - 0) = (2, -1, 0) \]

\[ \overrightarrow{OD}(0 - 0,\; 1 - 0,\; -1 - 0) = (0, 1, -1) \]

Calculons \(\vec{n} = \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) :

\[ \vec{n} = \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = ((-1)\times(-1) - 0\times1)\vec{i} - (2\times(-1) - 0\times0)\vec{j} + (2\times1 - (-1)\times0)\vec{k} \]

\[ = (1 - 0)\vec{i} - (-2 - 0)\vec{j} + (2 - 0)\vec{k} \]

\[ = 1\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD} = (1, 2, 2)} \]

Le plan \((OCD)\) passe par l'origine \(O(0,0,0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1,2,2)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((OCD)\), on a :

\[ \overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ \Leftrightarrow 1(x - 0) + 2(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \]

\[ \Leftrightarrow x + 2y + 2z = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((OCD)\) est :

\[ \boxed{(OCD) : x + 2y + 2z = 0} \]

2 Nature de l'ensemble \((S)\)

Données utilisées : on a :

\[ A(-2, 2, 8),\quad B(6, 6, 0),\quad M(x, y, z) \]

\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \]

Calculons \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) :

\[ \overrightarrow{MA}(-2 - x,\; 2 - y,\; 8 - z) \]

\[ \overrightarrow{MB}(6 - x,\; 6 - y,\; 0 - z) \]

Calculons le produit scalaire :

\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (-2-x)(6-x) + (2-y)(6-y) + (8-z)(-z) = 0 \]

Développons :

\[ (-2-x)(6-x) = -12 + 2x - 6x + x^2 = -12 - 4x + x^2 \]

\[ (2-y)(6-y) = 12 - 2y - 6y + y^2 = 12 - 8y + y^2 \]

\[ (8-z)(-z) = -8z + z^2 \]

Additionnons :

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 8y - 8z + (-12 + 12) = 0 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 8y - 8z = 0 \]

Complétons les carrés :

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + (z - 4)^2 - 16 = 0 \]

\[ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 36 \]

Donc \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 4, 4)\) et de rayon \(R = \sqrt{36} = 6\).

\[ \boxed{\Omega(2, 4, 4),\quad R = 6} \]

3a Distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD)\)

Données utilisées : on a :

\[ \Omega(2, 4, 4),\quad (OCD) : x + 2y + 2z = 0 \]

La distance d'un point \(\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega)\) à un plan \((P) : ax + by + cz + d = 0\) est donnée par :

\[ d(\Omega, (OCD)) = \frac{|ax_\Omega + by_\Omega + cz_\Omega + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Calculons :

\[ d(\Omega, (OCD)) = \frac{|1 \times 2 + 2 \times 4 + 2 \times 4 + 0|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \]

\[ = \frac{|2 + 8 + 8|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|18|}{\sqrt{9}} = \frac{18}{3} = 6 \]

Donc :

\[ \boxed{d(\Omega, (OCD)) = 6} \]

3b Le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\)

Données utilisées : on a :

\[ R = 6,\quad d = d(\Omega, (OCD)) = 6 \]

Puisque \(d(\Omega, (OCD)) = R = 6\), le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\).

\[ \boxed{\text{Le plan } (OCD) \text{ est tangent à la sphère } (S)} \]

3c Point de contact de la sphère \((S)\) et le plan \((OCD)\)

Données utilisées : on a :

\[ A(-2, 2, 8),\quad B(6, 6, 0),\quad O(0, 0, 0) \]

Calculons \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) :

\[ \overrightarrow{OA}(-2, 2, 8),\quad \overrightarrow{OB}(6, 6, 0) \]

Calculons le produit scalaire :

\[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (-2)\times6 + 2\times6 + 8\times0 = -12 + 12 + 0 = 0 \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0} \]

Le point de contact est l'unique point d'intersection entre la sphère \((S)\) et le plan tangent \((OCD)\).

Puisque \(O(0,0,0)\) appartient au plan \((OCD)\) (car \(0 + 2\times0 + 2\times0 = 0\)) et vérifie l'équation de la sphère :

\[ (0-2)^2 + (0-4)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36 = 6^2 \]

Donc \(O\) appartient à la fois à la sphère \((S)\) et au plan \((OCD)\).

Par conséquent, le point \(O\) est le point de contact de la sphère \((S)\) et du plan \((OCD)\).

\[ \boxed{O \text{ est le point de contact}} \]

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