📐 Géométrie dans l'espace - Session Rattrapage 2008 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
📌 Sphère et plan dans l'espace | Série : 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
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Énoncé
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), le plan \((P)\) d'équation : \(x + 2y + z - 1 = 0\) et la sphère \((S)\) d'équation :
\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 6y + 2z + 5 = 0 \]
- 1 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(I(2, 3, -1)\) et son rayon est \(3\). (0,75Pt)
-
2
- aMontrer que la distance du point \(I\) au plan \((P)\) est \(\sqrt{6}\). (0,5Pt)
- bEn déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(\sqrt{3}\). (0,75Pt)
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Correction détaillée — Géométrie dans l'espace - Session Rattrapage 2008 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
1
Centre et rayon de la sphère \((S)\)
Données utilisées : on a :
\[ (S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 6y + 2z + 5 = 0 \]
L'équation cartésienne de la sphère est :
\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 6y + 2z + 5 = 0 \]
Alors :
\[ x_I = \frac{-4}{-2} = 2,\quad y_I = \frac{-6}{-2} = 3,\quad z_I = \frac{2}{-2} = -1 \]
Donc le centre de la sphère \((S)\) est :
\[ \boxed{I(2, 3, -1)} \]
Calculons le rayon :
\[ R = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2 - 5} = \sqrt{4 + 9 + 1 - 5} = \sqrt{9} = 3 \]
\[ \boxed{R = 3} \]
2a
Distance du point \(I\) au plan \((P)\)
Données utilisées : on a :
\[ I(2, 3, -1),\quad (P) : x + 2y + z - 1 = 0 \]
La distance d'un point \(I(x_I, y_I, z_I)\) à un plan \((P) : ax + by + cz + d = 0\) est donnée par :
\[ d(I, (P)) = \frac{|ax_I + by_I + cz_I + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
Calculons :
\[ d(I, (P)) = \frac{|1 \times 2 + 2 \times 3 + 1 \times (-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \]
\[ = \frac{|2 + 6 - 1 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \]
Donc :
\[ \boxed{d(I, (P)) = \sqrt{6}} \]
2b
Le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\)
Données utilisées : on a :
\[ R = 3,\quad d = d(I, (P)) = \sqrt{6} \]
Soit \(r\) le rayon du cercle d'intersection \((\Gamma)\). On a la relation :
\[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \]
Calculons :
\[ r = \sqrt{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3} \]
Puisque \(d < R\) (car \(\sqrt{6} < 3\)), le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon :
\[ \boxed{r = \sqrt{3}} \]