On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), le plan \((P)\) d'équation : \(x + 2y + z - 1 = 0\) et la sphère \((S)\) d'équation :
- 1 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(I(2, 3, -1)\) et son rayon est \(3\). (0,75 Pt)
-
2
a Montrer que la distance du point \(I\) au plan \((P)\) est \(\sqrt{6}\). (0,5 Pt)b En déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(\sqrt{3}\). (0,75 Pt)
1. Centre et rayon de la sphère \((S)\)
L'équation cartésienne de la sphère est :
On identifie les coefficients :
Donc le centre de la sphère \((S)\) est :
Calculons le rayon :
2. a) Distance du point \(I\) au plan \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour équation : \(x + 2y + z - 1 = 0\). La distance d'un point \(I(x_I, y_I, z_I)\) à un plan \(ax + by + cz + d = 0\) est donnée par :
Calculons :
2. b) Intersection du plan \((P)\) et de la sphère \((S)\) : cercle \((\Gamma)\)
On a : \(R = 3\) et \(d = d(I, (P)) = \sqrt{6}\). Puisque \(d < R\) (car \(\sqrt{6} \approx 2,45 < 3\)), le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).
Soit \(r\) le rayon de ce cercle d'intersection. On a la relation fondamentale :
Calculons :
Donc le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon :