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📐 Géométrie dans l'espace - Session Normale 2009
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2ème Bac Sciences Physiques - BIOF
📐 Géométrie dans l'espace - Session Normale 2009 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
📌 Produit scalaire, sphère et plan tangent | Série : 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
📝
Énoncé
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(-2, 2, 8)\), \(B(6, 6, 0)\), \(C(2, -1, 0)\) et \(D(0, 1, -1)\) et \((S)\) l'ensemble des points \(M\) de l'espace qui vérifient \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
- 1 Déterminer le triple des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x + 2y + 2z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OCD)\). (0,75Pt)
- 2 Vérifier que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 4, 4)\) et de rayon \(6\). (0,5Pt)
-
3
- a Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD)\). (0,5Pt)
- b En déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,5Pt)
- c Vérifier que : \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\) puis en déduire que le point \(O\) est le point de contact de la sphère \((S)\) et le plan \((OCD)\). (0,75Pt)
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Correction détaillée
1
Produit vectoriel et équation du plan
\(\overrightarrow{OC}(2, -1, 0)\), \(\overrightarrow{OD}(0, 1, -1)\)
\(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1, 2, 2)\)
Plan \((OCD)\) : \(x + 2y + 2z = 0\)
2 Nature de \((S)\)
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \Rightarrow (x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 36\)
Donc \(\Omega(2,4,4)\), \(R=6\)
3a Distance
\(d(\Omega, (OCD)) = \frac{|2+8+8|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{18}{3} = 6\)
3b Tangence
\(d = R = 6\) ⇒ le plan est tangent à la sphère.
3c Point de contact
\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -12+12+0=0\)
\(O\) vérifie l'équation du plan et de la sphère ⇒ point de contact.
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