📐 Vecteurs dans l'espace - Exercice corrigé
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Exercice 1
Soient \(A(2,1,3)\), \(B(4,2,3)\), \(C(6,1,3)\) et \(D(2,0,3)\) des points dans l'espace et \(\vec{u}(2,1,2)\) et \(\vec{v}(1,2,1)\) deux vecteurs.
- Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
- Calculer la distance \(CD\).
- Calculer la norme de \(\vec{u}\).
- Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\).
- Déterminer le produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}\).
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Corrigé Exercice 1
1 Vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\)
Données utilisées : on a :
\[ A(2,1,3),\quad B(4,2,3),\quad C(6,1,3),\quad D(2,0,3) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{AB}(4-2,\;2-1,\;3-3) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(2,\;1,\;0) \]
\[ \overrightarrow{CD}(2-6,\;0-1,\;3-3) \Rightarrow \overrightarrow{CD}(-4,\;-1,\;0) \]
2 Distance \(CD\)
Données utilisées : on a :
\[ C(6,1,3),\quad D(2,0,3) \]
\[ \overrightarrow{CD}(-4,\;-1,\;0) \]
Calcul :
\[ CD = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \]
3 Norme de \(\vec{u}\)
Données utilisées : on a :
\[ \vec{u}(2,1,2) \]
Calcul :
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3 \]
4 Produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\)
Données utilisées : on a :
\[ \overrightarrow{AB}(2,\;1,\;0),\quad \overrightarrow{CD}(-4,\;-1,\;0) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = (2)\times(-4) + (1)\times(-1) + (0)\times(0) = -8 - 1 = -9 \]
5 Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}\)
Données utilisées : on a :
\[ \overrightarrow{AB}(2,\;1,\;0),\quad \overrightarrow{CD}(-4,\;-1,\;0) \]
Calcul :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (1\times0 - 0\times(-1))\vec{i} - (2\times0 - 0\times(-4))\vec{j} + (2\times(-1) - 1\times(-4))\vec{k} \]
\[ = 0\vec{i} - 0\vec{j} + (-2 + 4)\vec{k} \]
\[ = 2\vec{k} \]