Soit \( f \) la fonction numérique définie sur \( \mathbb{R} \) par :
- Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) puis \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\) et en déduire que \((C_f)\) admet une branche parabolique direction l'axe des ordonnées.
- Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).
- Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (x+1)]\) et en déduire que \((C_f)\) admet une asymptote oblique d'équation \((\Delta): y = x+1\) au voisinage de \(-\infty\).
- Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).
- Déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d'abscisse \(x_0 = 1\).
- Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
- Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une seule solution \(\alpha\) avec \(-\frac{3}{2} < \alpha < -1\).
- Tracer \((C_f)\).
1. Limites en \(+\infty\)
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + 1 + e^x) = +\infty\]
\[\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{e^x}{x}\]
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0,\quad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\]
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty\]
Interprétation : La limite infinie du rapport signifie qu'en \(+\infty\), la courbe \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
2. Limite en \(-\infty\)
\[\lim_{x \to -\infty} x = -\infty,\quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\]
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]
3. Asymptote oblique en \(-\infty\)
Soit \(\Delta : y = x + 1\).
\[f(x) - (x + 1) = e^x\]
\[\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\]
\[\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x + 1)] = 0\]
Conclusion : La droite \(\Delta : y = x + 1\) est asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
4. Dérivée de \(f\)
\[f'(x) = 1 + e^x\]
5. Sens de variation
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x > 0\), donc \(f'(x) = 1 + e^x > 0\).
Conclusion : La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
6. Tableau de variation
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
7. Équation de la tangente \((T)\) au point d'abscisse \(x_0 = 1\)
\[f(1) = 1 + 1 + e^1 = 2 + e\]
\[f'(1) = 1 + e\]
Équation de la tangente :
\[y = f'(1)(x - 1) + f(1)\]
\[y = (1 + e)(x - 1) + 2 + e\]
\[y = (1 + e)x - (1 + e) + 2 + e\]
\[y = (1 + e)x + 1\]
Donc \((T) : y = (1 + e)x + 1\).
8. Position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\)
On pose \(y = x + 1\) pour \(\Delta\).
\[f(x) - y = f(x) - (x + 1) = e^x\]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(e^x\) | \(+\) | ||
| \(f(x)-y\) | \(+\) | ||
| Position | \((C_f)\) au-dessus de \((\Delta)\) | ||
Conclusion : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x > 0\), donc \(f(x) - y > 0\).
\[(C_f) \text{ est au-dessus de } (\Delta) \text{ sur } \mathbb{R}\]
9. Existence et unicité de la solution \(\alpha\) de \(f(x) = 0\)
- \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Encadrement :
\[f\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2} + 1 + e^{-1.5} = -0.5 + e^{-1.5}\]
\(e^{-1.5} \approx 0.22313\), donc \(f(-1.5) \approx -0.27687 < 0\).
\[f(-1) = -1 + 1 + e^{-1} \approx 0.36788 > 0\]
Donc : \(\displaystyle -\frac{3}{2} < \alpha < -1\).
10. Tracé de \((C_f)\)
Éléments pour le tracé :
- En \(+\infty\) : branche parabolique direction axe des ordonnées.
- En \(-\infty\) : asymptote oblique \(\Delta : y = x + 1\).
- La courbe est toujours au-dessus de \(\Delta\).
- La fonction est strictement croissante.
- Tangente au point d'abscisse 1 : \(y = (1 + e)x + 1\).
- La courbe coupe l'axe des abscisses en \(\alpha \approx -1.278\).
Allure de la courbe :
y
↑
10 -| ➚ (C_f)
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8 -| ➚
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6 -| ➚
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4 -| ➚
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2 -| ➚
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0 -+--+--+--+--+--+--+--+--+--+→ x
| -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
| α≈-1.28
|
| (Δ) asymptote : y = x+1
📌 La courbe \((C_f)\) est en bleu, l'asymptote \((\Delta)\) en rouge pointillé, la tangente en vert.
\((C_f)\) est toujours au-dessus de \((\Delta)\) car \(e^x > 0\) pour tout \(x\).