Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) puis \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\). Interpréter.
2. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).
3. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (x+1)]\). Interpréter.
4. Calculer \(f'(x)\).
5. Étudier le sens de variation de \(f\).
6. Dresser le tableau de variation.
7. Équation de la tangente \((T)\) au point d'abscisse \(x_0 = 1\).
8. Position relative de \((C_f)\) et \((\Delta): y = x+1\).
9. Montrer que \(f(x)=0\) a une solution unique \(\alpha\) avec \(-\frac{3}{2} < \alpha < -1\).
10. Tracer \((C_f)\).
1. Limites en \(+\infty\)
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + 1 + e^x) = +\infty\]
\[\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{e^x}{x}\]
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0,\quad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\]
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty\] → branche parabolique direction axe des ordonnées.
2. Limite en \(-\infty\)
\[\lim_{x \to -\infty} x = -\infty,\quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \Rightarrow \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]
3. Asymptote oblique
\[f(x) - (x + 1) = e^x\]
\[\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\] → \(\Delta: y = x+1\) asymptote oblique en \(-\infty\).
4. Dérivée
\[f'(x) = 1 + e^x\]
5. Variations
\(e^x > 0\) donc \(f'(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\) → \(f\) strictement croissante.
6. Tableau de variation
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
7. Tangente au point \(x_0=1\)
\(f(1)=2+e\), \(f'(1)=1+e\)
\(y = (1+e)(x-1) + 2+e = (1+e)x + 1\)
8. Position relative
\(f(x) - (x+1) = e^x > 0\) → \((C_f)\) toujours au-dessus de \(\Delta\).
9. Solution de \(f(x)=0\)
\(f\) continue, strictement croissante, \(\lim_{-\infty} f = -\infty\), \(\lim_{+\infty} f = +\infty\) → une solution unique \(\alpha\).
\(f(-1.5) = -0.5 + e^{-1.5} \approx -0.2769 < 0\)
\(f(-1) = e^{-1} \approx 0.3679 > 0\) → \(-1.5 < \alpha < -1\).
10. Tracé
Allure de \((C_f)\) :
y
↑
10 -| ➚ (C_f)
| ➚
8 -| ➚
| ➚
6 -| ➚
| ➚
4 -| ➚
| ➚
2 -| ➚
| ➚
0 -+--+--+--+--+--+--+--+--+--+→ x
| -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
| α≈-1.28
📌 Courbe en bleu, asymptote Δ en rouge pointillé