Probabilités - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2008 | Tirage successif sans remise | Dima20
Probabilités - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2008 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
Probabilités Session Rattrapage 2008
Énoncé

Une urne contient quatre boules blanches et trois boules rouges (les boules sont indiscernables au toucher).

On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.

  1. 1 Quelle est la probabilité de tirer trois boules blanches ? (1 Pt)
  2. 2 Montrer que la probabilité de tirer trois boules de même couleur est \(\frac{1}{7}\). (1 Pt)
  3. 3 Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule blanche ? (1 Pt)
✓ Correction détaillée

1. Probabilité de tirer trois boules blanches

L'urne contient 4 blanches et 3 rouges, soit 7 boules au total.

Le nombre de tirages possibles (arrangements) est :

\[ A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210 \]

Le nombre de cas favorables (tirer trois boules blanches) est :

\[ A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24 \]

Donc la probabilité est :

\[ p = \frac{A_4^3}{A_7^3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{7 \times 6 \times 5} = \frac{24}{210} = \frac{4}{35} \]
\[ \boxed{p(\text{3 blanches}) = \frac{4}{35}} \]

2. Probabilité de tirer trois boules de même couleur

L'événement "trois boules de même couleur" est la réunion de deux événements incompatibles :

  • \(B_3\) : "tirer trois boules blanches"
  • \(R_3\) : "tirer trois boules rouges"

On a déjà \(p(B_3) = \dfrac{4}{35}\).

Calculons \(p(R_3)\) :

\[ A_3^3 = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
\[ p(R_3) = \frac{A_3^3}{A_7^3} = \frac{6}{210} = \frac{1}{35} \]

Par suite :

\[ p = p(B_3) + p(R_3) = \frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7} \]
\[ \boxed{p(\text{même couleur}) = \frac{1}{7}} \]

3. Probabilité de tirer au moins une boule blanche

Soit l'événement \(C\) : "tirer au moins une boule blanche".

Son événement contraire \(\overline{C}\) est : "tirer trois boules rouges".

\[ p(\overline{C}) = p(R_3) = \frac{1}{35} \]

Donc :

\[ p(C) = 1 - p(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{35} = \frac{34}{35} \]
\[ \boxed{p(\text{au moins une blanche}) = \frac{34}{35}} \]
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