Probabilités - Extrait d'Examen National — Session Normale 2008 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
Probabilités Session Normale 2008
Énoncé

Une urne contient six boules rouges et trois boules vertes (soit 9 boules au total).

  1. 1 On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
    Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges et une verte. (1 Pt)
  2. 2 On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
    Calculer la probabilité de tirer au moins une boule verte. (1 Pt)
  3. 3 On tire maintenant, au hasard, successivement et sans remise trois boules.
    Calculer la probabilité de tirer trois boules rouges. (1 Pt)
✓ Correction détaillée

1. Probabilité de tirer deux boules rouges et une verte (tirage simultané)

L'urne contient 6 rouges et 3 vertes, soit 9 boules au total.

Le nombre de tirages possibles (combinaisons) est :

\[ \text{card}(\Omega) = C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \]

Soit l'événement \(A\) : "Tirer deux boules rouges et une verte".

Le nombre de cas favorables est :

\[ \text{card}(A) = C_6^2 \times C_3^1 = 15 \times 3 = 45 \]

Donc la probabilité est :

\[ p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{45}{84} = \frac{15}{28} \]
\[ \boxed{p(A) = \frac{15}{28}} \]

2. Probabilité de tirer au moins une boule verte (tirage simultané)

Soit l'événement \(B\) : "Tirer au moins une boule verte".

L'événement contraire \(\overline{B}\) est : "Tirer trois boules rouges".

\[ \text{card}(\overline{B}) = C_6^3 = 20 \]
\[ p(\overline{B}) = \frac{20}{84} \]

Par suite :

\[ p(B) = 1 - p(\overline{B}) = 1 - \frac{20}{84} = \frac{64}{84} = \frac{16}{21} \]
\[ \boxed{p(B) = \frac{16}{21}} \]

3. Probabilité de tirer trois boules rouges (tirage successif sans remise)

Le nombre de tirages possibles (arrangements) est :

\[ A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504 \]

Le nombre de cas favorables (tirer trois boules rouges dans l'ordre) est :

\[ A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]

Donc la probabilité est :

\[ p = \frac{A_6^3}{A_9^3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{9 \times 8 \times 7} = \frac{120}{504} = \frac{5}{21} \]
\[ \boxed{p = \frac{5}{21}} \]
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