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🔢 Suites Numériques (contenu du PDF à télécharger)
1 — Généralités sur les suites
1.1 Bornes d'une suite
Soit \((u_n)_{n \geq n_0}\) une suite numérique.
- \((u_n)\) est majorée par \(M \in \mathbb{R}\) si \(\forall n \geq n_0,\ u_n \leq M\)
- \((u_n)\) est minorée par \(m \in \mathbb{R}\) si \(\forall n \geq n_0,\ u_n \geq m\)
- \((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ou de manière équivalente : \(\exists A > 0,\ \forall n \geq n_0,\ |u_n| \leq A\)
1.2 Monotonie
- \((u_n)\) est croissante si \(\forall n \geq n_0,\ u_n \leq u_{n+1}\)
- \((u_n)\) est décroissante si \(\forall n \geq n_0,\ u_n \geq u_{n+1}\)
- \((u_n)\) est constante si \(\forall n \geq n_0,\ u_n = u_{n+1}\)
- \((u_n)\) est périodique de période \(T \in \mathbb{N}^*\) si \(\forall n \geq n_0,\ u_{n+T} = u_n\)
2 — Suites arithmétiques
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si \(\forall n \geq n_0,\ u_{n+1} = u_n + r\)
Pour trois termes consécutifs \(a, b, c\) : \(b = \dfrac{a + c}{2}\)
3 — Suites géométriques
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q \in \mathbb{R}\) si \(\forall n \geq n_0,\ u_{n+1} = q \times u_n\)
Pour trois termes consécutifs \(a, b, c\) : \(b^2 = a \times c\)
4 — Limites des suites
\((u_n)\) tend vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon\).
On note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) si \(\forall A > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n > A\).
Les opérations suivent les mêmes règles que pour les fonctions.
5 — Critères de convergence
Si \(v_n \leq u_n \leq w_n\) à partir d'un certain rang et \(\lim v_n = \lim w_n = \ell\), alors \(\lim u_n = \ell\).
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
6 — Suites de formes particulières
- Si \(q > 1\) : \(\lim q^n = +\infty\)
- Si \(q = 1\) : \(\lim q^n = 1\)
- Si \(-1 < q < 1\) : \(\lim q^n = 0\)
- Si \(q \leq -1\) : \((q^n)\) n'admet pas de limite
- Si \(r > 0\) : \(\lim n^r = +\infty\)
- Si \(r < 0\) : \(\lim n^r = 0\)
7 — Suites récurrentes
Une suite \((u_n)\) est récurrente d'ordre 1 si \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné.
Si \(f\) est continue et \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell\) est solution de \(f(x) = x\).
OUADJI Jaouad | 1.9 Mo