Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{I}, \vec{J}, \vec{K})\), on considère les points \(A(0, 3, 3)\), \(B(1, 2, 1)\), \(C(2, 3, 1)\) et le vecteur \(\vec{n}(1, -1, 1)\). Soit \((P)\) le plan d'équation \(x - y + z - 6 = 0\).
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1
a Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{n}\) et déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont non alignés. (0,5 Pt)b Montrer que les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont parallèles. (0,5 Pt)
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2
Soit \((S)\) la sphère telle que : le plan \((ABC)\) est tangent à \((S)\) en \(A\) et le plan \((P)\) est tangent à \((S)\) en un point \(H\).
a Calculer la distance du point \(A\) au plan \((P)\) et déduire que le rayon de la sphère \((S)\) est \(\sqrt{3}\). (0,5 Pt)b Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et orthogonale au plan \((P)\). (0,25 Pt)c Montrer que les coordonnées du point \(H\) sont \((2, 1, 5)\). (0,5 Pt)d Montrer que \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 8z + 18 = 0\) est une équation cartésienne de la sphère \((S)\). (0,25 Pt)
- 3 Déterminer les deux points d'intersection de la droite \((BH)\) et la sphère \((S)\). (0,5 Pt)
1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et non-alignement
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons le produit vectoriel :
Puisque le produit vectoriel est non nul, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires. Donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
1. b) Parallélisme des plans \((ABC)\) et \((P)\)
Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2(1, -1, 1)\).
Le plan \((P)\) a pour équation \(x - y + z - 6 = 0\), donc son vecteur normal est \(\vec{n}(1, -1, 1)\).
Les deux vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont parallèles.
2. a) Distance de \(A\) à \((P)\) et rayon de \((S)\)
Le plan \((P)\) a pour équation : \(x - y + z - 6 = 0\).
La distance du point \(A(0, 3, 3)\) au plan \((P)\) est :
La sphère \((S)\) est tangente au plan \((ABC)\) en \(A\) et au plan \((P)\) en \(H\).
Les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont parallèles, donc le centre \(\Omega\) de la sphère est aligné avec \(A\) et \(H\) sur la perpendiculaire commune.
La distance entre les deux plans est : \(d(A, (P)) = 2\sqrt{3}\).
Le rayon \(R\) de la sphère vérifie : \(2R = d(A, (P)) = 2\sqrt{3}\). On obtient donc :
2. b) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(A(0, 3, 3)\) et est orthogonale au plan \((P)\).
Le plan \((P)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, -1, 1)\).
Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\) :
Ce qui donne le système :
D'où la représentation paramétrique :
2. c) Coordonnées du point \(H\)
Le point \(H\) est le point de tangence du plan \((P)\) avec la sphère \((S)\).
Comme les plans \((ABC)\) et \((P)\) sont parallèles et que la sphère est tangente à ces deux plans, le centre \(\Omega\) de la sphère est le milieu du segment \([AH]\). En effet, la distance entre les deux plans vaut \(2R\) et le centre est équidistant des deux plans.
On a donc \(\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{A\Omega}\). De plus, les points \(A\), \(\Omega\) et \(H\) sont alignés sur la droite \((\Delta)\) (perpendiculaire commune aux deux plans).
Sur \((\Delta)\), on a \(A\) correspond à \(t=0\). Puisque \(A\Omega = R = \sqrt{3}\) et \(AH = 2\sqrt{3}\), on a :
\[ \overrightarrow{AH} = 2\sqrt{3} \times \text{(vecteur directeur unitaire de }(\Delta)\text{)}. \]
Le vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\vec{u}(1,-1,1)\). Sa norme est \(\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}\). Donc le vecteur unitaire dans la direction de \((\Delta)\) est \(\frac{\vec{u}}{\sqrt{3}}\).
Ainsi, \(\overrightarrow{AH} = 2\sqrt{3} \times \frac{\vec{u}}{\sqrt{3}} = 2\vec{u}\). Par conséquent, les coordonnées de \(H\) s'obtiennent en prenant \(t=2\) dans la représentation paramétrique de \((\Delta)\).
Nous avons ainsi :
2. d) Équation cartésienne de la sphère \((S)\)
Le centre \(\Omega\) de la sphère est le milieu de \([AH]\). Calculons ses coordonnées :
Le rayon est \(R = \sqrt{3}\). L'équation de la sphère est donc :
Développons :
3. Intersection de la droite \((BH)\) avec la sphère \((S)\)
On a \(B(1, 2, 1)\) et \(H(2, 1, 5)\).
Calculons \(\overrightarrow{BH} = (1, -1, 4)\).
Représentation paramétrique de \((BH)\) :
Remplaçons dans l'équation de \((S)\) :
Développons :
Regroupons les termes :
Donc l'équation devient :
Discriminant : \(\Delta = 16 - 12 = 4\), donc \(\sqrt{\Delta} = 2\).
Pour \(t = 1\) : on obtient le point \(H(2, 1, 5)\).
Pour \(t = \frac{1}{3}\) :
Les deux points d'intersection sont donc :