Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les deux points \(A(1, 1, 0)\) et \(\Omega(-1, 1, -2)\) et le plan \((P)\) d'équation \(x + z - 1 = 0\).
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1
a Vérifier que \(A\) est un point du plan \((P)\) et donner un vecteur normal de \((P)\). (0,5 Pt)b Montrer que la droite \((\Omega A)\) est perpendiculaire au plan \((P)\). (0,5 Pt)
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2
Soit \((S)\) l'ensemble des points \(M(x, y, z)\) de l'espace vérifiant : \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 4z - 3 = 0\).
a Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega\) et déterminer son rayon. (0,5 Pt)b Montrer que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de centre \(A\) puis déterminer son rayon. (0,5 Pt)
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3
Soit \((Q_m)\) un plan d'équation \(x + y + mz - 2 = 0\), où \(m\) est un nombre réel.
a Vérifier que \(A\) est un point du plan \((Q_m)\), pour tout \(m\) de \(\mathbb{R}\). (0,25 Pt)b Déterminer la valeur du réel \(m\) pour que \((Q_m)\) soit perpendiculaire au plan \((P)\). (0,25 Pt)c Existe-t-il un plan \((Q_m)\) qui coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle de centre \(A\) ? Justifier. (0,25 Pt)
1. a) Vérification et vecteur normal
Le plan \((P)\) a pour équation \(x + z - 1 = 0\).
Vérifions que \(A(1, 1, 0)\) appartient à \((P)\) :
Donc \(A \in (P)\).
Un vecteur normal à \((P)\) est :
1. b) Perpendicularité de \((\Omega A)\) à \((P)\)
Calculons \(\overrightarrow{\Omega A}\) :
On remarque que \(\overrightarrow{\Omega A} = 2(1, 0, 1) = 2\vec{n}_P\).
Puisque \(\overrightarrow{\Omega A}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}_P\), la droite \((\Omega A)\) est orthogonale au plan \((P)\).
2. a) Sphère \((S)\) de centre \(\Omega\)
L'équation donnée est :
On identifie les coefficients :
Donc le centre est :
Calculons le rayon :
2. b) Intersection de \((P)\) avec \((S)\)
On a déjà montré que \((\Omega A)\) est orthogonale à \((P)\) et que \(A \in (P)\).
Donc \(A\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\).
Calculons la distance \(\Omega A\) :
Puisque \(R = 3\) et \(\Omega A = 2\sqrt{2} \approx 2,83 < 3\), le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle de centre \(A\).
Le rayon \(r\) du cercle vérifie :
3. a) Appartenance de \(A\) à \((Q_m)\)
Le plan \((Q_m)\) a pour équation \(x + y + mz - 2 = 0\).
Vérifions pour \(A(1, 1, 0)\) :
Donc \(A \in (Q_m)\) pour tout réel \(m\).
3. b) Perpendicularité de \((Q_m)\) et \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}_P(1, 0, 1)\).
Le plan \((Q_m)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}_{Q_m}(1, 1, m)\).
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
3. c) Existence d'un plan \((Q_m)\) coupant \((S)\) suivant un cercle de centre \(A\)
Pour qu'un plan coupant \((S)\) donne un cercle de centre \(A\), il faut que :
- \(A\) appartienne au plan (ce qui est vrai pour tout \(m\) d'après 3.a)
- \(A\) soit le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur ce plan
Cela signifie que le vecteur \(\overrightarrow{\Omega A}\) doit être normal au plan \((Q_m)\).
On a \(\overrightarrow{\Omega A} = (2, 0, 2)\) qui est colinéaire à \((1, 0, 1)\).
Le plan \((Q_m)\) a pour vecteur normal \((1, 1, m)\).
Pour que \((1, 1, m)\) soit colinéaire à \((1, 0, 1)\), il faudrait que \(1 = 0\) (la deuxième coordonnée), ce qui est impossible.
Donc aucun plan \((Q_m)\) n'a son vecteur normal colinéaire à \(\overrightarrow{\Omega A}\).