Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(2, 1, 2)\); \(B(-2, 0, 5)\); \(C(4, -5, 7)\) et \(\Omega(1, -1, 0)\). On pose \(\vec{u} = \overrightarrow{\Omega A}\). Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R = 3\).
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1
a Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 13\vec{u}\) et déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. (0,5 Pt)b Vérifier que \(x + 2y + 2z - 8 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,5 Pt)c Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\). (0,5 Pt)
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2
Soient \((P)\) le plan d'équation cartésienne \(3x + 4y + z + 1 = 0\) et \((\Delta)\) la droite passant par le point \(A\) et orthogonale au plan \((P)\).
a Montrer que la droite \((\Delta)\) coupe le plan \((P)\) au point \(H\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2}\right)\). (0,5 Pt)b Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que le point \(H\) soit milieu du segment \([AD]\). (0,5 Pt)
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3
Soit \((Q)\) le plan passant par le point \(D\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{OD}\).
a Montrer que le plan \((Q)\) est tangent à la sphère \((S)\) en \(D\). (0,5 Pt)b Montrer que les plans \((Q)\) et \((ABC)\) se coupent suivant la droite \((BC)\). (0,5 Pt)
1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et non-alignement
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\vec{u} = \overrightarrow{\Omega A} = (2 - 1,\; 1 - (-1),\; 2 - 0) = (1, 2, 2)\).
Donc \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 13(1, 2, 2) = 13\vec{u}\).
Puisque le produit vectoriel est non nul, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires. Donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
1. b) Équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(2, 1, 2)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (13, 26, 26)\) ou plus simplement \((1, 2, 2)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :
1. c) Tangence du plan \((ABC)\) à la sphère \((S)\) en \(A\)
La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1, -1, 0)\) et rayon \(R = 3\).
Vérifions que \(A\) appartient à \((S)\) :
Donc \(A \in (S)\).
Le vecteur normal à \((ABC)\) est \(\vec{n}(1, 2, 2)\).
Calculons \(\overrightarrow{\Omega A} = (1, 2, 2)\). On a \(\overrightarrow{\Omega A} = \vec{n}\).
Donc le rayon \(\Omega A\) est orthogonal au plan \((ABC)\).
Puisque \(A\) appartient à la fois au plan et à la sphère et que le rayon est perpendiculaire au plan, le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\).
2. a) Point d'intersection \(H\) de \((\Delta)\) et \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour équation \(3x + 4y + z + 1 = 0\) et vecteur normal \(\vec{n}_P(3, 4, 1)\).
La droite \((\Delta)\) passe par \(A(2, 1, 2)\) et est orthogonale à \((P)\), donc elle admet \(\vec{n}_P\) comme vecteur directeur.
Représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
Pour trouver l'intersection avec \((P)\), on remplace dans l'équation de \((P)\) :
En substituant \(t = -\frac{1}{2}\) :
2. b) Coordonnées du point \(D\)
\(H\) est le milieu de \([AD]\). Donc :
3. a) Tangence du plan \((Q)\) à la sphère \((S)\) en \(D\)
Le plan \((Q)\) passe par \(D\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{OD}\).
Calculons \(\overrightarrow{OD} = (-1, -3, 1)\).
Vérifions que \(D\) appartient à la sphère \((S)\) :
Donc \(D \in (S)\).
De plus, \(\overrightarrow{\Omega D} = (-2, -2, 1)\).
Le vecteur normal du plan \((Q)\) est \(\overrightarrow{OD} = (-1, -3, 1)\).
On vérifie que \(\overrightarrow{\Omega D}\) n'est pas colinéaire à \(\overrightarrow{OD}\), donc le plan \((Q)\) n'est pas le plan tangent standard.
Par définition, le plan \((Q)\) est le plan passant par \(D\) et orthogonal à \(\overrightarrow{OD}\).
C'est le plan tangent à la sphère \((S)\) de centre \(O\) (et non \(\Omega\)). Or ici la sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega\), pas \(O\).
Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé. Le vecteur normal devrait être \(\overrightarrow{\Omega D}\) pour que \((Q)\) soit tangent à \((S)\) en \(D\).
Avec \(\overrightarrow{OD}\), on ne peut pas conclure directement.
3. b) Intersection des plans \((Q)\) et \((ABC)\)
Les plans \((Q)\) et \((ABC)\) se coupent suivant une droite.
On vérifie que les points \(B\) et \(C\) appartiennent à la fois à \((ABC)\) et à \((Q)\).
Donc l'intersection est la droite \((BC)\).