Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les deux points \(A(1, -1, 1)\) et \(B(5, 1, -3)\). Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(3, 0, -1)\) de rayon \(R = 3\), et \((\Delta)\) la droite passant par le point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2, -2, 1)\).
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a Calculer la distance \(\Omega A\). (0,25 Pt)b Montrer que la droite \((\Delta)\) et \((\Omega A)\) sont perpendiculaires. (0,25 Pt)c Déduire la position relative de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\). (0,25 Pt)
- 2 Soit le point \(M_a(2a - 3, 3 - 2a, a - 1)\) avec \(a \in \mathbb{R}\), montrer que \(\overrightarrow{AM_a} = (a - 2)\vec{u}\) et déduire que \(M_a \in (\Delta)\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\). (0,5 Pt)
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a Vérifier que \(2x - 2y + z - 9a + 13 = 0\) est une équation du plan \((P_a)\) passant par \(M_a\) et perpendiculaire à la droite \((\Delta)\). (0,5 Pt)b Montrer que \(d(\Omega, (P_a)) = |3a - 6|\). (0,5 Pt)c Déterminer les deux valeurs de \(a\) pour lesquelles le plan \((P_a)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,5 Pt)
1. a) Distance \(\Omega A\)
On a \(\Omega(3, 0, -1)\) et \(A(1, -1, 1)\).
1. b) Perpendicularité de \((\Delta)\) et \((\Omega A)\)
La droite \((\Delta)\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(2, -2, 1)\).
Calculons \(\overrightarrow{\Omega A}\) :
Calculons le produit scalaire :
Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs \(\overrightarrow{\Omega A}\) et \(\vec{u}\) sont orthogonaux.
Or \(\overrightarrow{\Omega A}\) dirige la droite \((\Omega A)\).
Donc la droite \((\Delta)\) et la droite \((\Omega A)\) sont perpendiculaires.
1. c) Position relative de \((\Delta)\) et \((S)\)
La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega\) et rayon \(R = 3\).
La distance du centre \(\Omega\) à la droite \((\Delta)\) est la longueur du projeté orthogonal de \(\Omega\) sur la droite.
Puisque \((\Delta)\) passe par \(A\) et que \((\Delta) \perp (\Omega A)\), le point \(A\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((\Delta)\).
Donc \(d(\Omega, (\Delta)) = \Omega A = 3\).
On a \(d(\Omega, (\Delta)) = R = 3\).
Par conséquent, la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) au point \(A\).
2. Vecteur \(\overrightarrow{AM_a}\) et appartenance à \((\Delta)\)
On a \(M_a(2a - 3, 3 - 2a, a - 1)\) et \(A(1, -1, 1)\).
Puisque \(\overrightarrow{AM_a}\) est colinéaire à \(\vec{u}\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\), et que \((\Delta)\) passe par \(A\) avec vecteur directeur \(\vec{u}\), on a \(M_a \in (\Delta)\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\).
3. a) Équation du plan \((P_a)\)
Le plan \((P_a)\) est perpendiculaire à \((\Delta)\), donc il admet \(\vec{u}(2, -2, 1)\) comme vecteur normal.
Son équation est de la forme :
Il passe par \(M_a(2a - 3, 3 - 2a, a - 1)\). En substituant :
Donc l'équation du plan \((P_a)\) est :
3. b) Distance de \(\Omega\) au plan \((P_a)\)
Le plan \((P_a)\) a pour équation : \(2x - 2y + z - 9a + 13 = 0\).
La distance du point \(\Omega(3, 0, -1)\) à \((P_a)\) est :
3. c) Valeurs de \(a\) pour lesquelles \((P_a)\) est tangent à \((S)\)
Le plan \((P_a)\) est tangent à la sphère \((S)\) si et seulement si la distance du centre \(\Omega\) au plan est égale au rayon \(R = 3\).