Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1, 2, 2)\), \(B(3, -1, 6)\) et \(C(1, 1, 3)\).
-
1
a Vérifier que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} - 2\vec{j} - 2\vec{k}\). (0,75 Pt)b En déduire que \(x - 2y - 2z + 7 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,5 Pt)
-
2
Soient les points \(E(5, 1, 4)\) et \(F(-1, 1, 12)\) et \((S)\) l'ensemble des points \(M\) vérifiant \(\overrightarrow{ME} \cdot \overrightarrow{MF} = 0\).
Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 1, 8)\) et de rayon \(R = 5\). (0,75 Pt)
-
3
a Calculer \(d(\Omega, (ABC))\) la distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\). (0,5 Pt)b En déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r = 4\). (0,5 Pt)
1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\)
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
1. b) Équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(1, 2, 2)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, -2, -2)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :
2. Sphère \((S)\) définie par \(\overrightarrow{ME} \cdot \overrightarrow{MF} = 0\)
On a \(E(5, 1, 4)\) et \(F(-1, 1, 12)\). Soit \(M(x, y, z)\) un point de l'espace.
La condition \(\overrightarrow{ME} \cdot \overrightarrow{MF} = 0\) donne :
Développons chaque terme :
L'équation devient :
On identifie le centre :
Calculons le rayon :
3. a) Distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(x - 2y - 2z + 7 = 0\).
La distance du point \(\Omega(2, 1, 8)\) au plan \((ABC)\) est :
3. b) Rayon du cercle \((\Gamma)\)
Le rayon \(r\) du cercle d'intersection vérifie :
Puisque \(d < R\) (car \(3 < 5\)), le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r = 4\).