Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(2, 1, 2)\) et rayon égale à 3 et le plan \((P)\) passant par le point \(A(-1, 0, 3)\) et dont \(\vec{u} (4, 0, -3)\) est un vecteur normal à \((P)\).
- 1 Montrer que \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y - 4z = 0\) est une équation cartésienne de la sphère \((S)\). (0,5 Pt)
- 2 Vérifier que \(4x - 3z + 13 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\). (0,5 Pt)
-
3
a Vérifier que \(\begin{cases} x = 2 + 4t\\ y = 1 \\ z = 2 - 3t \end{cases}\) \((t \in \mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et orthogonale au plan \((P)\). (0,5 Pt)b Déterminer les coordonnées de \(H\) point d'intersection de la droite \((\Delta)\) et du plan \((P)\). (0,5 Pt)
-
4
a Calculer \(d(\Omega ,(P))\). (0,25 Pt)b Montrer que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\) en un point que l'on déterminera. (0,75 Pt)
1. Équation cartésienne de la sphère \((S)\)
La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(2, 1, 2)\) et rayon \(R = 3\).
Son équation cartésienne est de la forme :
Développons :
2. Équation cartésienne du plan \((P)\)
Le plan \((P)\) passe par \(A(-1, 0, 3)\) et a pour vecteur normal \(\vec{u}(4, 0, -3)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((P)\) :
3. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(2, 1, 2)\) et est orthogonale au plan \((P)\).
Le plan \((P)\) a pour vecteur normal \(\vec{u}(4, 0, -3)\).
Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{u}\) comme vecteur directeur.
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\) :
Ce qui donne le système :
D'où :
3. b) Point d'intersection \(H\) de \((\Delta)\) et \((P)\)
Pour trouver \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((P)\) et la représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
Remplaçons \(x\) et \(z\) dans l'équation du plan :
En substituant \(t = -\dfrac{3}{5}\) :
4. a) Distance de \(\Omega\) au plan \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour équation : \(4x - 3z + 13 = 0\).
La distance du point \(\Omega(2, 1, 2)\) au plan \((P)\) est :
4. b) Tangence du plan \((P)\) à la sphère \((S)\)
La sphère \((S)\) a pour rayon \(R = 3\).
On a \(d(\Omega, (P)) = R = 3\).
Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).
Le point de contact est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\), c'est-à-dire le point \(H\) trouvé précédemment.
Vérifions que \(H\) appartient bien à la sphère \((S)\) :
Donc \(H \in (S)\).