Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère la sphère \((S)\) d'équation : \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0 \] et le plan \((P)\) d'équation : \[ y - z = 0. \]
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1
a Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(1, 1, 1)\) et son rayon est \(2\). (1 Pt)b Calculer \(d\big(\Omega, (P)\big)\) et en déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((C)\). (1 Pt)c Déterminer le centre et le rayon du cercle \((C)\). (0,5 Pt)
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2
Soit \((\Delta)\) la droite passant par le point \(A(1, -2, 2)\) et orthogonale au plan \((P)\).
a Montrer que \(\vec{u}(0, 1, -1)\) est un vecteur directeur de la droite \((\Delta)\). (0,5 Pt)b Montrer que \(\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\| = \sqrt{2} \|\vec{u}\|\) et en déduire que la droite \((\Delta)\) coupe la sphère \((S)\) en deux points. (1 Pt)c Déterminer les coordonnées de chacun des deux points de contact de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\). (1 Pt)
1. a) Centre et rayon de la sphère \((S)\)
L'équation de la sphère est :
On identifie les coefficients :
Calculons le rayon :
1. b) Distance de \(\Omega\) au plan \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour équation : \(y - z = 0\).
La distance du point \(\Omega(1, 1, 1)\) au plan \((P)\) est :
Puisque \(d = 0 < R = 2\), le plan \((P)\) passe par le centre de la sphère. Par conséquent, le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un grand cercle \((C)\).
1. c) Centre et rayon du cercle \((C)\)
Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, le cercle d'intersection est un grand cercle.
Son centre est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\). Comme \(\Omega \in (P)\), le centre du cercle est \(\Omega\) lui-même.
Le rayon du cercle est égal au rayon de la sphère :
2. a) Vecteur directeur de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) est orthogonale au plan \((P)\).
Le plan \((P)\) a pour équation \(y - z = 0\), donc un vecteur normal est \(\vec{n}(0, 1, -1)\).
Par conséquent, \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.
2. b) Calcul de \(\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|\)
On a \(\Omega(1, 1, 1)\), \(A(1, -2, 2)\) et \(\vec{u}(0, 1, -1)\).
Calculons \(\overrightarrow{\Omega A} = (1 - 1,\; -2 - 1,\; 2 - 1) = (0, -3, 1)\).
Calculons le produit vectoriel :
Calculons les normes :
On a bien :
La distance du centre \(\Omega\) à la droite \((\Delta)\) est donnée par :
Puisque \(d = \sqrt{2} \approx 1,414 < R = 2\), la droite \((\Delta)\) coupe la sphère \((S)\) en deux points.
2. c) Points d'intersection de \((\Delta)\) et \((S)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(A(1, -2, 2)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(0, 1, -1)\).
Représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
Remplaçons dans l'équation de la sphère \((S)\) :
Développons :
Discriminant : \(\Delta = 16 - 12 = 4\), donc \(\sqrt{\Delta} = 2\).
Pour \(t = 1\) :
Pour \(t = 3\) :