Géométrie dans l'espace — Session Rattrapage 2016 — Correction détaillée — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2016 | Sphère, plan tangent, produit vectoriel | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2016 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Rattrapage 2016

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1, 3, 4)\) et \(B(0, 1, 2)\).

1
a Montrer que \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}\). (0,5 P^t)

b Montrer que \(2x - 2y + z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OAB)\). (0,5 P^t)
2 Soit \((S)\) la sphère d'équation : \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 6y - 6z + 2 = 0\).
Montrer que \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(3, -3, 3)\) et pour rayon \(5\). (0,5 P^t)
3
a Montrer que le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,75 P^t)

b Déterminer les coordonnées du point de contact \(H\) du plan \((OAB)\) et de la sphère \((S)\). (0,75 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\)

On a \(A(1, 3, 4)\) et \(B(0, 1, 2)\).

Calculons \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) :

\[ \overrightarrow{OA} = (1, 3, 4),\quad \overrightarrow{OB} = (0, 1, 2) \]

Calculons le produit vectoriel :

\[ \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (3 \times 2 - 4 \times 1)\vec{i} - (1 \times 2 - 4 \times 0)\vec{j} + (1 \times 1 - 3 \times 0)\vec{k} \]

\[ = (6 - 4)\vec{i} - (2 - 0)\vec{j} + (1 - 0)\vec{k} \]

\[ = 2\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}} \]

1. b) Équation cartésienne du plan \((OAB)\)

Le plan \((OAB)\) passe par l'origine \(O(0, 0, 0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, -2, 1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ 2x - 2y + z = 0 \]

\[ \boxed{(OAB) : 2x - 2y + z = 0} \]

2. Centre et rayon de la sphère \((S)\)

L'équation de la sphère est :

\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 6y - 6z + 2 = 0 \]

On identifie les coefficients :

\[ x_\Omega = \frac{-6}{-2} = 3,\quad y_\Omega = \frac{6}{-2} = -3,\quad z_\Omega = \frac{-6}{-2} = 3 \]

\[ \boxed{\Omega(3, -3, 3)} \]

Calculons le rayon :

\[ R = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (3)^2 - 2} = \sqrt{9 + 9 + 9 - 2} = \sqrt{27 - 2} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ \boxed{R = 5} \]

3. a) Tangence du plan \((OAB)\) à la sphère \((S)\)

Le plan \((OAB)\) a pour équation : \(2x - 2y + z = 0\).

La distance du centre \(\Omega(3, -3, 3)\) au plan \((OAB)\) est :

\[ d = \frac{|2(3) - 2(-3) + (3)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 6 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|15|}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5 \]

\[ \boxed{d(\Omega, (OAB)) = 5} \]

On a \(d = 5\) et le rayon de la sphère est \(R = 5\).

Puisque \(d = R\), le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \((S)\).

\[ \boxed{\text{Le plan }(OAB)\text{ est tangent à la sphère }(S)} \]

3. b) Point de contact \(H\)

Le point de contact \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((OAB)\).

La droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et orthogonale à \((OAB)\) a pour vecteur directeur \(\vec{n}(2, -2, 1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{n},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ (x - 3,\; y + 3,\; z - 3) = t(2, -2, 1) \]

Ce qui donne le système :

\[ \begin{cases} x - 3 = 2t \\ y + 3 = -2t \\ z - 3 = t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -3 - 2t \\ z = 3 + t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Pour trouver \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((OAB)\) et la représentation paramétrique de \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} 2x - 2y + z = 0 \\ x = 3 + 2t \\ y = -3 - 2t \\ z = 3 + t \end{cases} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan :

\[ 2(3 + 2t) - 2(-3 - 2t) + (3 + t) = 0 \]

\[ 6 + 4t + 6 + 4t + 3 + t = 0 \]

\[ 15 + 9t = 0 \quad\Rightarrow\quad 9t = -15 \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3} \]

En substituant \(t = -\dfrac{5}{3}\) :

\[ x = 3 + 2\left(-\frac{5}{3}\right) = 3 - \frac{10}{3} = \frac{9 - 10}{3} = -\frac{1}{3} \]

\[ y = -3 - 2\left(-\frac{5}{3}\right) = -3 + \frac{10}{3} = \frac{-9 + 10}{3} = \frac{1}{3} \]

\[ z = 3 + \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{9 - 5}{3} = \frac{4}{3} \]

\[ \boxed{H\left(-\frac{1}{3},\; \frac{1}{3},\; \frac{4}{3}\right)} \]

Vérifions que \(H\) appartient bien au plan \((OAB)\) :

\[ 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 2\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 0 \]

Vérifions que \(\Omega H = R = 5\) :

\[ \overrightarrow{\Omega H} = \left(-\frac{1}{3} - 3,\; \frac{1}{3} + 3,\; \frac{4}{3} - 3\right) = \left(-\frac{10}{3},\; \frac{10}{3},\; -\frac{5}{3}\right) \]

\[ \|\overrightarrow{\Omega H}\| = \sqrt{\left(-\frac{10}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{100}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{225}{9}} = \sqrt{25} = 5 \]

Donc \(H\) est bien le point de contact.

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