Géométrie dans l'espace — Session Rattrapage 2013 — Correction détaillée — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2013 | Sphère, plan et droite | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2013 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Rattrapage 2013

Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(0, 0, 1)\), \(B(1, 1, 1)\) et \(C(2, 1, 2)\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1, -1, 0)\) et de rayon \(\sqrt{3}\).

1

a Montrer que \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 1 = 0\) est une équation cartésienne de la sphère et vérifier que le point \(A\) appartient à la sphère \((S)\). (1 P^t)
2

i Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}\) et en déduire que \(x - y - z + 1 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,75 P^t)

ii Calculer \(d(\Omega, (ABC))\) puis en déduire que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) en \(A\). (0,75 P^t)
3

i Démontrer que \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = -t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \] est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\). (0,5 P^t)

ii En déduire les coordonnées des deux points d'intersection de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\). (1 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Équation cartésienne de la sphère \((S)\) et appartenance de \(A\)

La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1, -1, 0)\) et rayon \(R = \sqrt{3}\). Son équation cartésienne est :

\[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{3})^2 \]

Développons :

\[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + z^2 = 3 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y + 2 = 3 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 1 = 0 \]

\[ \boxed{(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 1 = 0} \]

Vérifions que \(A(0, 0, 1)\) appartient à \((S)\) :

\[ 0^2 + 0^2 + 1^2 - 2(0) + 2(0) - 1 = 1 - 1 = 0 \]

\[ \boxed{A \in (S)} \]

2. i) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et équation du plan \((ABC)\)

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB}(1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 1) = (1, 1, 0) \]

\[ \overrightarrow{AC}(2 - 0,\; 1 - 0,\; 2 - 1) = (2, 1, 1) \]

Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (1 \times 1 - 0 \times 1)\vec{i} - (1 \times 1 - 0 \times 2)\vec{j} + (1 \times 1 - 1 \times 2)\vec{k} \]

\[ = (1 - 0)\vec{i} - (1 - 0)\vec{j} + (1 - 2)\vec{k} \]

\[ = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1, -1, -1)} \]

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(0, 0, 1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, -1, -1)\). Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ 1(x - 0) - 1(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \]

\[ x - y - z + 1 = 0 \]

\[ \boxed{(ABC) : x - y - z + 1 = 0} \]

2. ii) Distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\) et tangence

Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(x - y - z + 1 = 0\). La distance de \(\Omega(1, -1, 0)\) à \((ABC)\) est :

\[ d(\Omega, (ABC)) = \frac{|1 \times 1 - 1 \times (-1) - 1 \times 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 1 + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

\[ \boxed{d(\Omega, (ABC)) = \sqrt{3}} \]

On a \(d(\Omega, (ABC)) = \sqrt{3} = R\). Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\).

De plus, on a vérifié que \(A \in (S)\) et \(A \in (ABC)\) (car \(0 - 0 - 1 + 1 = 0\)).

\[ \boxed{(ABC) \text{ est tangent à } (S) \text{ au point } A} \]

3. i) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, -1, 0)\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\).

Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, -1, -1)\). Donc \((\Delta)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (1, -1, -1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{u},\quad t \in \mathbb{R} \]

Ce qui donne :

\[ (x - 1,\; y + 1,\; z - 0) = t(1, -1, -1) \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = -t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ \boxed{(\Delta) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = -t \end{cases},\; t \in \mathbb{R}} \]

3. ii) Intersection de la droite \((\Delta)\) avec la sphère \((S)\)

Pour déterminer les points d'intersection, on résout le système formé par l'équation de la sphère \((S)\) et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 1 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = -t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation de \((S)\) :

\[ (1 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (-t)^2 - 2(1 + t) + 2(-1 - t) - 1 = 0 \]

Développons :

\[ (1 + 2t + t^2) + (1 + 2t + t^2) + t^2 - 2 - 2t - 2 - 2t - 1 = 0 \]

\[ (t^2 + t^2 + t^2) + (2t + 2t - 2t - 2t) + (1 + 1 - 2 - 2 - 1) = 0 \]

\[ 3t^2 + (4t - 4t) + (2 - 5) = 0 \]

\[ 3t^2 - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3(t^2 - 1) = 0 \]

\[ t^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad t = 1 \text{ ou } t = -1 \]

Pour \(t = 1\) :

\[ x = 1 + 1 = 2,\quad y = -1 - 1 = -2,\quad z = -1 \]

Pour \(t = -1\) :

\[ x = 1 - 1 = 0,\quad y = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0,\quad z = -(-1) = 1 \]

Donc les points d'intersection sont :

\[ \boxed{A(0, 0, 1) \text{ et } E(2, -2, -1)} \]

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