Géométrie dans l'espace — Session Rattrapage 2012 — Correction détaillée — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2012 | Sphère et plan tangent | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2012 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Rattrapage 2012

Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(-3, 0, 0)\), \(B(0, 0, -3)\) et \(C(0, 2, -2)\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1, 1, 1)\) et de rayon \(3\).

1

a Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 6\vec{i} - 3\vec{j} + 6\vec{k}\) puis en déduire que \(2x - y + 2z + 6 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1,25 P^t)

b Calculer \(d(\Omega ,(ABC))\) puis en déduire que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,75 P^t)
2

a Montrer que \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases}\) \((t \in \mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de la droite \((D)\). (0,5 P^t)

b Démontrer que le triplet de coordonnées de \(H\) point de contact du plan \((ABC)\) et la sphère \((S)\) est \((-1, 2, -1)\). (0,5 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et équation du plan \((ABC)\)

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB}(0 - (-3),\; 0 - 0,\; -3 - 0) = (3, 0, -3) \]

\[ \overrightarrow{AC}(0 - (-3),\; 2 - 0,\; -2 - 0) = (3, 2, -2) \]

Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (0 \times (-2) - (-3) \times 2)\vec{i} - (3 \times (-2) - (-3) \times 3)\vec{j} + (3 \times 2 - 0 \times 3)\vec{k} \]

\[ = (0 + 6)\vec{i} - (-6 + 9)\vec{j} + (6 - 0)\vec{k} \]

\[ = 6\vec{i} - 3\vec{j} + 6\vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (6, -3, 6)} \]

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(-3, 0, 0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(6, -3, 6)\) que l'on peut simplifier par \(3\) : \(\vec{n}(2, -1, 2)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ 2(x + 3) - 1(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \]

\[ 2x + 6 - y + 2z = 0 \]

\[ 2x - y + 2z + 6 = 0 \]

\[ \boxed{(ABC) : 2x - y + 2z + 6 = 0} \]

1. b) Distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\) et tangence

Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(2x - y + 2z + 6 = 0\). La distance de \(\Omega(1, 1, 1)\) à \((ABC)\) est :

\[ d(\Omega, (ABC)) = \frac{|2 \times 1 - 1 \times 1 + 2 \times 1 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 1 + 2 + 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \]

\[ \boxed{d(\Omega, (ABC)) = 3} \]

On a \(d(\Omega, (ABC)) = 3 = R\). Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\).

\[ \boxed{(ABC) \text{ est tangent à } (S)} \]

2. a) Représentation paramétrique de la droite \((D)\)

La droite \((D)\) passe par \(\Omega(1, 1, 1)\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\).

Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, -1, 2)\). Donc \((D)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (2, -1, 2)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((D)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{u},\quad t \in \mathbb{R} \]

Ce qui donne :

\[ (x - 1,\; y - 1,\; z - 1) = t(2, -1, 2) \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ \boxed{(D) : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases},\; t \in \mathbb{R}} \]

2. b) Point de contact \(H\) du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\)

Le point de contact est l'unique point d'intersection entre la sphère \((S)\) et son plan tangent \((ABC)\).

Ce point est également le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) sur le plan \((ABC)\), c'est-à-dire l'intersection de la droite \((D)\) (perpendiculaire à \((ABC)\) passant par \(\Omega\)) avec le plan \((ABC)\).

Pour déterminer \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((ABC)\) et la représentation paramétrique de la droite \((D)\) :

\[ \begin{cases} 2x - y + 2z + 6 = 0 \\ x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation du plan :

\[ 2(1 + 2t) - (1 - t) + 2(1 + 2t) + 6 = 0 \]

\[ 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t + 6 = 0 \]

\[ (2 - 1 + 2 + 6) + (4t + t + 4t) = 0 \quad\Rightarrow\quad 9 + 9t = 0 \]

\[ 9t = -9 \quad\Rightarrow\quad t = -1 \]

Pour \(t = -1\) :

\[ x = 1 + 2 \times (-1) = 1 - 2 = -1,\quad y = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2,\quad z = 1 + 2 \times (-1) = 1 - 2 = -1 \]

Donc le point de contact est :

\[ \boxed{H(-1, 2, -1)} \]

Examen précédent

Examen suivant

Voir aussi

Chargement des cours...

Voir aussi

Explorez d'autres ressources

Examens avec correction

Examens régionaux avec correction

Cours de maths

Exercices corrigés

Dima20 | Maths pour le Lycée Qualifiant

Niveaux

Filières Scientifiques

Filières Techniques

Filières Littéraires