On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(0, -2, 0)\), \(B(1, 1, -4)\) et \(C(0, 1, -4)\) et la sphère \((S)\) d'équation : \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\).
- 1 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(1, 2, 3)\) et son rayon est \(5\). (0,5 Pt)
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2
a Montrer que : \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 4\vec{j} + 3\vec{k}\) puis en déduire que \(4y + 3z + 8 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1 Pt)b Calculer \(d(\Omega ,(ABC))\) puis en déduire que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,5 Pt)
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3
a Démontrer que : \(\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + 3t \end{cases}\) \((t \in \mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\). (0,5 Pt)b Démontrer que le triple des coordonnées de \(H\) point d'intersection de la droite \((\Delta)\) et le plan \((ABC)\) est \((1, -2, 0)\). (0,25 Pt)c Vérifier que \(H\) est le point de contact du plan \((ABC)\) et la sphère \((S)\). (0,25 Pt)
1. Centre et rayon de la sphère \((S)\)
L'équation de la sphère est :
On identifie les coefficients :
Donc le centre de la sphère \((S)\) est :
Calculons le rayon :
2. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et équation du plan \((ABC)\)
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(0, -2, 0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(0, 4, 3)\). Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :
2. b) Distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\) et tangence
Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(4y + 3z + 8 = 0\). La distance de \(\Omega(1, 2, 3)\) à \((ABC)\) est :
On a \(d(\Omega, (ABC)) = 5 = R\). Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\).
3. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, 2, 3)\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(0, 4, 3)\). Donc \((\Delta)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (0, 4, 3)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :
Ce qui donne :
D'où la représentation paramétrique :
3. b) Point d'intersection \(H\) de \((\Delta)\) et \((ABC)\)
Pour déterminer le point d'intersection \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((ABC)\) et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :
Remplaçons \(y\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation du plan :
Pour \(t = -1\) :
Donc le point d'intersection est :
3. c) Vérification que \(H\) est le point de contact
Le point de contact est l'unique point d'intersection entre la sphère \((S)\) et son plan tangent \((ABC)\).
Vérifions que \(H\) appartient au plan \((ABC)\) :
Vérifions que \(H\) appartient à la sphère \((S)\) :
Donc \(H\) appartient à la fois à la sphère \((S)\) et au plan tangent \((ABC)\). Par conséquent, \(H\) est le point de contact.