Session Rattrapage 2009 +Géométrie dans l'espace + 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2009 | Sphère, plan et droite tangente | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Rattrapage 2009 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Rattrapage 2009

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère le point \(A(2, 2, -1)\), le plan \((P)\) d'équation : \(2x + y + 2z - 13 = 0\) et la sphère \((S)\) de centre le point \(\Omega(1, 0, 1)\) et de rayon \(3\).

1

a Montrer que : \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 7 = 0\) est une équation cartésienne de la sphère \((S)\) puis vérifier que \(A \in (S)\). (0,75 P^t)

b Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) puis en déduire que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,75 P^t)
2

a Montrer que : \(\vec{u}(2, 1, 2)\) est un vecteur directeur de la droite \((D)\) et que : \((6, -6, -3)\) est le triple de coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\). (0,75 P^t)

b Calculer \(\dfrac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\) puis en déduire que la droite \((D)\) est tangente à la sphère \((S)\) en \(A\). (0,75 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Équation cartésienne de la sphère \((S)\) et appartenance de \(A\)

La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1, 0, 1)\) et rayon \(R = 3\). Son équation cartésienne est :

\[ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = 3^2 \]

Développons :

\[ (x^2 - 2x + 1) + y^2 + (z^2 - 2z + 1) = 9 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z + 2 = 9 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 7 = 0 \]

\[ \boxed{(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 7 = 0} \]

Vérifions que \(A(2, 2, -1)\) appartient à \((S)\) :

\[ 2^2 + 2^2 + (-1)^2 - 2(2) - 2(-1) - 7 = 4 + 4 + 1 - 4 + 2 - 7 = 0 \]

\[ \boxed{A \in (S)} \]

1. b) Distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) et tangence

Le plan \((P)\) a pour équation : \(2x + y + 2z - 13 = 0\). La distance de \(\Omega(1, 0, 1)\) à \((P)\) est :

\[ d(\Omega, (P)) = \frac{|2 \times 1 + 1 \times 0 + 2 \times 1 - 13|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 0 + 2 - 13|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \]

\[ \boxed{d(\Omega, (P)) = 3} \]

On a \(d(\Omega, (P)) = 3 = R\). Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

\[ \boxed{(P) \text{ est tangent à } (S)} \]

2. a) Vecteur directeur de \((D)\) et produit vectoriel \(\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\)

La droite \((D)\) passe par \(A\) et est perpendiculaire au plan \((P)\). Le plan \((P)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, 1, 2)\). Donc \((D)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (2, 1, 2)\).

\[ \boxed{\vec{u}(2, 1, 2) \text{ est un vecteur directeur de } (D)} \]

Calculons \(\overrightarrow{\Omega A}\) :

\[ \overrightarrow{\Omega A}(2 - 1,\; 2 - 0,\; -1 - 1) = (1, 2, -2) \]

Calculons \(\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\) :

\[ \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (2 \times 2 - (-2) \times 1)\vec{i} - (1 \times 2 - (-2) \times 2)\vec{j} + (1 \times 1 - 2 \times 2)\vec{k} \]

\[ = (4 + 2)\vec{i} - (2 + 4)\vec{j} + (1 - 4)\vec{k} \]

\[ = 6\vec{i} - 6\vec{j} - 3\vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} = (6, -6, -3)} \]

2. b) Calcul de \(\dfrac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\) et tangence de \((D)\) à \((S)\)

Calculons \(\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|\) :

\[ \|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9 \]

Calculons \(\|\vec{u}\|\) :

\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Donc :

\[ \frac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} = \frac{9}{3} = 3 \]

\[ \boxed{\dfrac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} = 3} \]

La distance du centre \(\Omega\) à la droite \((D)\) est donnée par la formule :

\[ d(\Omega, (D)) = \frac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} \]

On a \(d(\Omega, (D)) = 3 = R\). De plus, \(A \in (D)\) et \(A \in (S)\) (démontré en 1.a).

Donc la droite \((D)\) est tangente à la sphère \((S)\) au point \(A\).

\[ \boxed{(D) \text{ est tangente à } (S) \text{ au point } A} \]

Examen précédent

Examen suivant

Voir aussi

Chargement des cours...

Voir aussi

Explorez d'autres ressources

Examens avec correction

Examens régionaux avec correction

Cours de maths

Exercices corrigés

Dima20 | Maths pour le Lycée Qualifiant

Niveaux

Filières Scientifiques

Filières Techniques

Filières Littéraires