Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{I}, \vec{J}, \vec{K})\), on considère les points \(A(0, 0, 2)\), \(B(2, 0, 0)\) et la sphère \(S\) de centre \(O\) et de rayon \(R = 2\).
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1
a Déterminer l'équation cartésienne de la sphère \(S\). (0,5 Pt)b Vérifier que les points \(A\) et \(B\) appartiennent à la sphère \(S\). (0,25 Pt)
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2
Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
a Déterminer l'intersection du plan \((OAB)\) avec la sphère \(S\). (0,5 Pt)b Vérifier que \(\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) puis montrer que \(d(O, (AB)) = \sqrt{2}\). (0,5 Pt)
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3
On considère un point \(M(0, m, 0)\) de l'espace, où \(m \in \mathbb{R}\).
a Vérifier que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} = 2m\vec{I} + 4\vec{J} + 2m\vec{K}\). (0,25 Pt)b Déduire que \(mx + 2y + mz = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABM)\). (0,25 Pt)c Montrer que \(d(O, (ABM)) = \frac{2|m|}{\sqrt{4 + 2m^2}}\). (0,25 Pt)
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4
Le plan \((ABM)\) coupe la sphère \(S\) suivant un cercle \((\Gamma_m)\) de rayon \(r\).
Montrer que \(r = \sqrt{2 + \frac{4}{2 + m^2}}\) et déduire que \(\sqrt{2} < r \leq 2\), pour tout \(m \in \mathbb{R}\). (0,5 Pt)
1. a) Équation cartésienne de la sphère \(S\)
La sphère \(S\) a pour centre \(O(0, 0, 0)\) et rayon \(R = 2\).
1. b) Appartenance de \(A\) et \(B\) à \(S\)
Pour \(A(0, 0, 2)\) :
Pour \(B(2, 0, 0)\) :
2. a) Intersection du plan \((OAB)\) avec la sphère \(S\)
Le plan \((OAB)\) passe par \(O(0,0,0)\), \(A(0,0,2)\) et \(B(2,0,0)\).
Ces trois points ont \(y = 0\). Donc le plan \((OAB)\) est le plan \(y = 0\) (plan \(xOz\)).
L'intersection de ce plan avec la sphère \(S\) est donnée par :
C'est le cercle du plan \(y = 0\) de centre \(O\) et de rayon \(2\).
2. b) Calcul de \(\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB}\) et \(d(O, (AB))\)
Calculons \(I\) milieu de \([AB]\) :
Calculons \(\overrightarrow{OI} = (1, 0, 1)\) et \(\overrightarrow{AB} = (2, 0, -2)\).
La distance de \(O\) à la droite \((AB)\) est la longueur du projeté orthogonal de \(O\) sur \((AB)\).
Comme \(\overrightarrow{OI} \perp \overrightarrow{AB}\) et \(I \in (AB)\), \(I\) est le projeté orthogonal de \(O\) sur \((AB)\).
3. a) Calcul de \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM}\)
On a \(M(0, m, 0)\). Calculons \(\overrightarrow{AM}\) :
Calculons le produit vectoriel :
3. b) Équation cartésienne du plan \((ABM)\)
Le plan \((ABM)\) passe par \(A(0,0,2)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} = (2m, 4, 2m)\).
Pour tout point \(M(x,y,z)\) du plan :
En divisant par 2 :
L'énoncé donne \(mx + 2y + mz = 0\).
Pour que l'équation soit homogène (sans terme constant), le plan doit passer par l'origine. Vérifions :
Si \(m = 0\), le plan devient \(2y = 0\) soit \(y = 0\). Dans ce cas, il passe bien par \(O\).
Continuons avec l'équation donnée par l'énoncé :
3. c) Distance de \(O\) au plan \((ABM)\)
Le plan \((ABM)\) a pour équation : \(mx + 2y + mz = 0\).
La distance de \(O(0,0,0)\) à ce plan est :
Cela signifierait que \(O\) appartient au plan pour tout \(m\).
Or pour \(m \neq 0\), \(O(0,0,0)\) vérifie bien \(m \times 0 + 2 \times 0 + m \times 0 = 0\), donc \(O \in (ABM)\).
Dans ce cas, la distance du centre de la sphère au plan est nulle, donc l'intersection du plan avec la sphère est un grand cercle de rayon \(R = 2\).
4. Rayon du cercle \((\Gamma_m)\) et encadrement
Puisque \(d(O, (ABM)) = 0\) pour tout \(m\), le plan \((ABM)\) passe toujours par \(O\).
L'intersection du plan \((ABM)\) avec la sphère \(S\) est donc un grand cercle de rayon \(r = R = 2\).
L'énoncé propose \(r = \sqrt{2 + \frac{4}{2 + m^2}}\).
Cette expression n'est pas constante égale à 2, sauf si \(m = 0\).
Il y a une incohérence entre l'équation du plan donnée dans l'énoncé et le résultat attendu.
Supposons que l'équation correcte du plan est \(mx + 2y + mz - 2m = 0\).
Alors la distance est :
Et le rayon :
Pour tout \(m \in \mathbb{R}\), \(m^2 \geq 0\), donc \(2 + m^2 \geq 2\).
D'où :