Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les deux points \(A(-1, 0, -1)\) et \(B(1, 2, -1)\), le plan \((P)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2, -2, 1)\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(2, -1, 0)\) et de rayon \(5\).
- 1 Montrer que \(2x - 2y + z + 3 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\). (0,25 Pt)
- 2 Déterminer une équation cartésienne de la sphère \((S)\). (0,5 Pt)
-
3
a Vérifier que la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) est \(d(\Omega, (P)) = 3\). (0,5 Pt)b En déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon à déterminer. (0,5 Pt)
-
4
a Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((P)\). (0,5 Pt)b Montrer que le point \(H(0, 1, -1)\) est le centre du cercle \((\Gamma)\). (0,5 Pt)c Montrer que la droite \((\Delta)\) est une médiatrice du segment \([AB]\). (0,5 Pt)
1. Équation cartésienne du plan \((P)\)
Le plan \((P)\) passe par \(A(-1, 0, -1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, -2, 1)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((P)\) :
2. Équation cartésienne de la sphère \((S)\)
La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(2, -1, 0)\) et rayon \(R = 5\).
Son équation cartésienne est :
Développons :
3. a) Distance de \(\Omega\) au plan \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour équation : \(2x - 2y + z + 3 = 0\).
La distance du point \(\Omega(2, -1, 0)\) au plan \((P)\) est :
3. b) Rayon du cercle \((\Gamma)\)
On a \(d = 3\) et \(R = 5\).
Puisque \(d < R\), le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).
Le rayon \(r\) du cercle \((\Gamma)\) vérifie :
4. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(2, -1, 0)\) et est perpendiculaire au plan \((P)\).
Le plan \((P)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, -2, 1)\).
Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\) :
Ce qui donne le système :
D'où la représentation paramétrique :
4. b) Centre du cercle \((\Gamma)\)
Le centre \(H\) du cercle \((\Gamma)\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((P)\).
Pour trouver \(H\), on résout le système formé par l'équation de \((P)\) et la représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan :
En substituant \(t = -1\) :
4. c) La droite \((\Delta)\) est une médiatrice du segment \([AB]\)
Vérifions d'abord que \(H\) est le milieu du segment \([AB]\) :
Donc \(H\) est le milieu de \([AB]\).
Vérifions que \(\overrightarrow{AB}\) est orthogonal à la direction de \((\Delta)\) :
Le vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\vec{n}(2, -2, 1)\).
Donc \(\overrightarrow{AB}\) est orthogonal à \(\vec{n}\), c'est-à-dire que la droite \((\Delta)\) est perpendiculaire à \([AB]\) en son milieu \(H\).
Par définition, \((\Delta)\) est la médiatrice du segment \([AB]\) dans l'espace.