Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(0, 1, 4)\), \(B(2, 1, 2)\), \(C(2, 5, 0)\) et \(\Omega(3, 4, 4)\).
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1
a Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés. (0,25 Pt)b Montrer que \(\vec{u}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\). (0,25 Pt)c Vérifier que \(x + 2y + 2z - 8 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,25 Pt)d Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) en \(A\). (0,5 Pt)
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2
Soit \((P)\) le plan d'équation cartésienne \(3x + 4y + z + 1 = 0\) et \((\Delta)\) la droite passant par le point \(A\) et orthogonale à \((P)\).
a Montrer que la droite \((\Delta)\) coupe le plan \((P)\) au point \(H(1, -1, 3)\). (0,5 Pt)b Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(H\) soit le milieu du segment \([AD]\). (0,5 Pt)
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3
Soit \((Q)\) le plan passant par le point \(D\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega D}\).
a Montrer que le plan \((Q)\) est tangent à la sphère \((S)\) en \(D\). (0,5 Pt)b Montrer que les plans \((ABC)\) et \((Q)\) se coupent suivant la droite \((BC)\). (0,5 Pt)
1. a) Non-alignement des points \(A\), \(B\) et \(C\)
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires car il n'existe pas de réel \(k\) tel que \((2, 0, -2) = k(2, 4, -4)\).
1. b) Vecteur normal au plan \((ABC)\)
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
On peut prendre \(\vec{u} = (2, 1, 2)\) comme vecteur normal (en divisant par 4).
1. c) Équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(0, 1, 4)\) et a pour vecteur normal \(\vec{u}(2, 1, 2)\).
L'énoncé donne \(x + 2y + 2z - 8 = 0\). Vérifions cette équation avec le point \(A\) :
Il y a une erreur dans l'énoncé. L'équation correcte est \(2x + y + 2z - 9 = 0\).
Continuons avec l'équation donnée dans l'énoncé pour la suite :
1. d) Tangence du plan \((ABC)\) à la sphère \((S)\) en \(A\)
Pour que le plan \((ABC)\) soit tangent à la sphère \((S)\) en \(A\), il faut que :
- \(A\) appartienne à \((S)\)
- \(\overrightarrow{\Omega A}\) soit orthogonal à \((ABC)\)
D'après la suite de l'examen, on comprend que \(\Omega\) est le centre de la sphère \((S)\).
Calculons \(\overrightarrow{\Omega A} = (0 - 3, 1 - 4, 4 - 4) = (-3, -3, 0)\).
Le vecteur normal à \((ABC)\) est \(\vec{n}(1, 2, 2)\).
On vérifie que \(\overrightarrow{\Omega A}\) est colinéaire à \(\vec{n}\) ? \(\frac{-3}{1} = -3\), \(\frac{-3}{2} = -1.5\), non colinéaire.
Il y a une incohérence dans l'énoncé. Avec les données fournies, on ne peut pas vérifier la tangence.
2. a) Intersection de \((\Delta)\) avec \((P)\) au point \(H\)
Le plan \((P)\) a pour équation \(3x + 4y + z + 1 = 0\) et vecteur normal \(\vec{n}_P(3, 4, 1)\).
La droite \((\Delta)\) passe par \(A(0, 1, 4)\) et est orthogonale à \((P)\), donc elle admet \(\vec{n}_P\) comme vecteur directeur.
Représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
Pour trouver l'intersection avec \((P)\), on remplace dans l'équation de \((P)\) :
Le point donné \(H(1, -1, 3)\) ne correspond pas à cette valeur. Il y a une erreur dans l'énoncé.
2. b) Coordonnées du point \(D\)
\(H\) est le milieu de \([AD]\). Donc :
3. a) Tangence du plan \((Q)\) à la sphère \((S)\) en \(D\)
Le plan \((Q)\) passe par \(D\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega D}\).
Donc \((Q)\) est le plan perpendiculaire à \(\Omega D\) passant par \(D\).
Par définition, \((Q)\) est le plan tangent à la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) au point \(D\).
3. b) Intersection des plans \((ABC)\) et \((Q)\)
Les plans \((ABC)\) et \((Q)\) se coupent suivant une droite.
On vérifie que les points \(B\) et \(C\) appartiennent à la fois à \((ABC)\) et à \((Q)\).
Donc l'intersection est la droite \((BC)\).