Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(0, 1, 1)\), \(B(1, 2, 0)\) et \(C(-1, 1, 2)\).
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1
a Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{k}\). (0,5 Pt)b En déduire que \(x + z - 1 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,25 Pt)
-
2
Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(1, 1, 2)\) et de rayon \(R = \sqrt{2}\).
Déterminer une équation de la sphère \((S)\). (0,5 Pt)
- 3 Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\). (0,25 Pt)
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4
On considère la droite \((\Delta)\) passant par le point \(C\) et perpendiculaire au plan \((ABC)\).
a Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\). (0,5 Pt)b Montrer que la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) en un point \(D\) dont on déterminera les coordonnées. (0,75 Pt)c Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AC} \cdot (\vec{i} + \vec{k})\), puis en déduire la distance \(d(A, (\Delta))\). (0,75 Pt)
1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\)
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
1. b) Équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(0, 1, 1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 0, 1)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :
2. Équation de la sphère \((S)\)
La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1, 1, 2)\) et rayon \(R = \sqrt{2}\).
Son équation cartésienne est :
Développons :
3. Tangence du plan \((ABC)\) à la sphère \((S)\) au point \(A\)
Vérifions d'abord que \(A(0, 1, 1)\) appartient au plan \((ABC)\) :
Vérifions que \(A\) appartient à la sphère \((S)\) :
Donc \(A \in (S)\).
Le vecteur normal au plan \((ABC)\) est \(\vec{n}(1, 0, 1)\).
Calculons \(\overrightarrow{\Omega A}\) :
On a \(\overrightarrow{\Omega A} = -\vec{n}\), donc \(\overrightarrow{\Omega A}\) est colinéaire à \(\vec{n}\).
Par conséquent, le rayon \(\Omega A\) est orthogonal au plan \((ABC)\).
Puisque \(A\) appartient à la fois au plan et à la sphère, et que le rayon est perpendiculaire au plan, le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\).
4. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(C(-1, 1, 2)\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 0, 1)\).
Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\) :
Ce qui donne le système :
D'où la représentation paramétrique :
4. b) Tangence de \((\Delta)\) à la sphère \((S)\)
Pour déterminer l'intersection de \((\Delta)\) avec la sphère \((S)\), on résout le système :
Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation de la sphère :
L'équation admet une solution unique \(t = 1\), donc la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\).
Le point de contact \(D\) correspond à \(t = 1\) :
4. c) Produit scalaire \(\overrightarrow{AC} \cdot (\vec{i} + \vec{k})\) et distance \(d(A, (\Delta))\)
Calculons \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons le produit scalaire avec \(\vec{i} + \vec{k} = (1, 0, 1)\) :
La droite \((\Delta)\) a pour vecteur directeur \(\vec{n} = \vec{i} + \vec{k}\).
Puisque \(\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} = 0\), le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est orthogonal à la direction de \((\Delta)\).
De plus, \(C \in (\Delta)\), donc la distance du point \(A\) à la droite \((\Delta)\) est égale à la longueur du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) :
On peut aussi vérifier que \(A\) et \(D\) sont sur la sphère et que la distance est la même.