Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1, -1, -1)\), \(B(0, -2, 1)\) et \(C(1, -2, 0)\).
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1
a Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}\). (0,75 Pt)b En déduire que \(x + y + z + 1 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,5 Pt)
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2
Soit \((S)\) la sphère d'équation \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2z + 1 = 0\).
Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est \(\Omega(2, -1, 1)\) et que son rayon est \(R = \sqrt{5}\). (0,75 Pt)
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3
a Calculer \(d(\Omega, (ABC))\) la distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\). (0,5 Pt)b En déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) (la détermination du centre et du rayon de \((\Gamma)\) n'est pas demandée). (0,5 Pt)
1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\)
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
1. b) Équation cartésienne du plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(1, -1, -1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 1, 1)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :
2. Centre et rayon de la sphère \((S)\)
L'équation de la sphère est :
On identifie les coefficients :
Calculons le rayon :
3. a) Distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\)
Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(x + y + z + 1 = 0\).
La distance du point \(\Omega(2, -1, 1)\) au plan \((ABC)\) est :
3. b) Intersection du plan \((ABC)\) avec la sphère \((S)\)
On a \(d = \sqrt{3} \approx 1,732\) et \(R = \sqrt{5} \approx 2,236\).
Puisque \(d < R\), le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).