Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2018 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
Géométrie dans l'espace Session Normale 2018
Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(0, -2, -2)\), \(B(1, -2, -4)\) et \(C(-3, -1, 2)\).

  1. 1 Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}\) et en déduire que \(2x + 2y + z + 6 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1 Pt)
  2. 2 On considère la sphère \((S)\) dont une équation est : \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 23 = 0 \] Vérifier que la sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1, 0, 1)\) et pour rayon \(R = 5\). (0,5 Pt)
  3. 3
    a Vérifier que \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \] est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et orthogonale au plan \((ABC)\). (0,5 Pt)
    b Déterminer les coordonnées de \(H\) point d'intersection de la droite \((\Delta)\) et du plan \((ABC)\). (0,5 Pt)
  4. 4
    a Vérifier que \(d\big(\Omega, (ABC)\big) = 3\). (0,25 Pt)
    b Montrer que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle de rayon \(4\), dont on déterminera le centre. (0,75 Pt)
✓ Correction détaillée

1. Produit vectoriel et équation du plan \((ABC)\)

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} = (1 - 0,\; -2 - (-2),\; -4 - (-2)) = (1, 0, -2) \]
\[ \overrightarrow{AC} = (-3 - 0,\; -1 - (-2),\; 2 - (-2)) = (-3, 1, 4) \]

Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (0 \times 4 - (-2) \times 1)\vec{i} - (1 \times 4 - (-2) \times (-3))\vec{j} + (1 \times 1 - 0 \times (-3))\vec{k} \]
\[ = (0 + 2)\vec{i} - (4 - 6)\vec{j} + (1 - 0)\vec{k} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} \]
\[ \boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}} \]

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(0, -2, -2)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, 2, 1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ 2(x - 0) + 2(y + 2) + 1(z + 2) = 0 \]
\[ 2x + 2y + 4 + z + 2 = 0 \]
\[ 2x + 2y + z + 6 = 0 \]
\[ \boxed{(ABC) : 2x + 2y + z + 6 = 0} \]

2. Centre et rayon de la sphère \((S)\)

L'équation de la sphère est :

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 23 = 0 \]

On identifie les coefficients :

\[ x_\Omega = \frac{-2}{-2} = 1,\quad y_\Omega = \frac{0}{-2} = 0,\quad z_\Omega = \frac{-2}{-2} = 1 \]
\[ \boxed{\Omega(1, 0, 1)} \]

Calculons le rayon :

\[ R = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (1)^2 - (-23)} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 23} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ \boxed{R = 5} \]

3. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, 0, 1)\) et est orthogonale au plan \((ABC)\).

Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, 2, 1)\).

Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\) :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{n},\quad t \in \mathbb{R} \]
\[ (x - 1,\; y - 0,\; z - 1) = t(2, 2, 1) \]

Ce qui donne le système :

\[ \begin{cases} x - 1 = 2t \\ y = 2t \\ z - 1 = t \end{cases} \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \boxed{(\Delta) : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases},\; t \in \mathbb{R}} \]

3. b) Point d'intersection \(H\) de \((\Delta)\) et \((ABC)\)

Pour trouver \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((ABC)\) et la représentation paramétrique de \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} 2x + 2y + z + 6 = 0 \\ x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan :

\[ 2(1 + 2t) + 2(2t) + (1 + t) + 6 = 0 \]
\[ 2 + 4t + 4t + 1 + t + 6 = 0 \]
\[ 9t + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -1 \]

En substituant \(t = -1\) :

\[ x = 1 + 2(-1) = -1,\quad y = 2(-1) = -2,\quad z = 1 + (-1) = 0 \]
\[ \boxed{H(-1, -2, 0)} \]

4. a) Distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\)

Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(2x + 2y + z + 6 = 0\).

La distance du point \(\Omega(1, 0, 1)\) au plan \((ABC)\) est :

\[ d(\Omega, (ABC)) = \frac{|2(1) + 2(0) + 1 + 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 0 + 1 + 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \]
\[ \boxed{d(\Omega, (ABC)) = 3} \]

4. b) Rayon du cercle et son centre

La sphère \((S)\) a pour rayon \(R = 5\).

Puisque \(d = 3 < R = 5\), le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle.

Le rayon \(r\) du cercle vérifie :

\[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]
\[ \boxed{r = 4} \]

Le centre du cercle est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((ABC)\), c'est-à-dire le point \(H\) trouvé précédemment.

\[ \boxed{\text{Le centre du cercle est } H(-1, -2, 0)} \]
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