Géométrie dans l'espace — Session Normale 2016 — Correction détaillée — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2016 | Sphère, plan, cercle, produit vectoriel | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2016 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Normale 2016

Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(2, 1, 3)\), \(B(3, 1, 1)\) et \(C(2, 2, 1)\) et la sphère \((S)\) d'équation : \[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 34 = 0 \]

1
a Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}\). (0,5 P^t)

b En déduire que \(2x + y + z - 9 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,5 P^t)
2
a Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(1, -1, 0)\) et son rayon est \(6\). (0,5 P^t)

b Montrer que \(d(\Omega, (ABC)) = 3\) et en déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\). (0,5 P^t)
3
a Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((ABC)\). (0,5 P^t)

b Montrer que le centre du cercle \((\Gamma)\) est le point \(B\). (0,5 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\)

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB}(3 - 2,\; 1 - 1,\; 1 - 3) = (1, 0, -2) \]

\[ \overrightarrow{AC}(2 - 2,\; 2 - 1,\; 1 - 3) = (0, 1, -2) \]

Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (0 \times (-2) - (-2) \times 1)\vec{i} - (1 \times (-2) - (-2) \times 0)\vec{j} + (1 \times 1 - 0 \times 0)\vec{k} \]

\[ = (0 + 2)\vec{i} - (-2 - 0)\vec{j} + (1 - 0)\vec{k} \]

\[ = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}} \]

1. b) Équation cartésienne du plan \((ABC)\)

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(2, 1, 3)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, 2, 1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ 2(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z - 3) = 0 \]

\[ 2x - 4 + 2y - 2 + z - 3 = 0 \]

\[ 2x + 2y + z - 9 = 0 \]

\[ \boxed{(ABC) : 2x + 2y + z - 9 = 0} \]

2. a) Centre et rayon de la sphère \((S)\)

L'équation de la sphère est :

\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 34 = 0 \]

On identifie les coefficients :

\[ x_\Omega = \frac{-2}{-2} = 1,\quad y_\Omega = \frac{2}{-2} = -1,\quad z_\Omega = \frac{0}{-2} = 0 \]

\[ \boxed{\Omega(1, -1, 0)} \]

Calculons le rayon :

\[ R = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (0)^2 - (-34)} = \sqrt{1 + 1 + 0 + 34} = \sqrt{36} = 6 \]

\[ \boxed{R = 6} \]

2. b) Distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\) et intersection

Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(2x + 2y + z - 9 = 0\).

La distance du point \(\Omega(1, -1, 0)\) au plan \((ABC)\) est :

\[ d = \frac{|2(1) + 2(-1) + (0) - 9|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 2 + 0 - 9|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \]

\[ \boxed{d(\Omega, (ABC)) = 3} \]

On a \(d = 3\) et \(R = 6\).

Puisque \(d < R\), le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).

\[ \boxed{\text{Le plan }(ABC)\text{ coupe la sphère }(S)\text{ suivant un cercle }(\Gamma)} \]

3. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, -1, 0)\) et est orthogonale au plan \((ABC)\).

Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, 2, 1)\).

Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{n},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ (x - 1,\; y + 1,\; z - 0) = t(2, 2, 1) \]

Ce qui donne le système :

\[ \begin{cases} x - 1 = 2t \\ y + 1 = 2t \\ z = t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \boxed{\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}} \]

3. b) Centre du cercle \((\Gamma)\)

Le centre du cercle \((\Gamma)\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((ABC)\).

Pour trouver ce projeté, on résout le système formé par l'équation du plan \((ABC)\) et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} 2x + 2y + z - 9 = 0 \\ x = 1 + 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = t \end{cases} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan :

\[ 2(1 + 2t) + 2(-1 + 2t) + t - 9 = 0 \]

\[ 2 + 4t - 2 + 4t + t - 9 = 0 \]

\[ 9t - 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 1 \]

En substituant \(t = 1\) :

\[ x = 1 + 2(1) = 3,\quad y = -1 + 2(1) = 1,\quad z = 1 \]

Le projeté est donc le point \((3, 1, 1)\), qui n'est autre que le point \(B\).

\[ \boxed{\text{Le centre du cercle }(\Gamma)\text{ est le point }B(3, 1, 1)} \]

Vérifions que \(B\) appartient bien au plan \((ABC)\) :

\[ 2(3) + 2(1) + 1 - 9 = 6 + 2 + 1 - 9 = 0 \]

Donc \(B \in (ABC)\), ce qui confirme que \(B\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\).

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