Géométrie dans l'espace — Session Normale 2015(2) — Correction détaillée — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2015 (2) | Sphère, plan tangent, droite, produit vectoriel | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2015 (2) | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Normale 2015 (2)

Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), le plan \((P)\) d'équation \(x + y + z + 4 = 0\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1, -1, -1)\) et de rayon \(\sqrt{3}\).

1
a Calculer la distance \(d(\Omega, (P))\) et en déduire que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,75 P^t)

b Vérifier que le point \(H(0, -2, -2)\) est le point de contact du plan \((P)\) et la sphère \((S)\). (0,5 P^t)
2 On considère les deux points \(A(2, 1, 1)\) et \(B(1, 0, 1)\).

a Vérifier que \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}\) et en déduire que \(x - y - z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OAB)\). (0,75 P^t)

b Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et orthogonale au plan \((OAB)\). (0,5 P^t)

c Déterminer les coordonnées de chacun des deux points d'intersection de la droite \((\Delta)\) et de la sphère \((S)\). (0,5 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Distance de \(\Omega\) à \((P)\) et tangence

Le plan \((P)\) a pour équation : \(x + y + z + 4 = 0\).

Le point \(\Omega\) a pour coordonnées \((1, -1, -1)\).

La distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) est :

\[ d(\Omega, (P)) = \frac{|1 + (-1) + (-1) + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 1 - 1 + 4|}{\sqrt{3}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

\[ \boxed{d(\Omega, (P)) = \sqrt{3}} \]

La sphère \((S)\) a pour rayon \(R = \sqrt{3}\).

Puisque \(d(\Omega, (P)) = R\), le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

\[ \boxed{\text{Le plan }(P)\text{ est tangent à la sphère }(S)} \]

1. b) Point de contact \(H\)

Le point de contact \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((P)\).

La droite passant par \(\Omega\) et orthogonale à \((P)\) a pour vecteur directeur \(\vec{n}(1, 1, 1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de cette droite, on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{n},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ (x - 1,\; y + 1,\; z + 1) = t(1, 1, 1) \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = -1 + t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Pour trouver \(H\), on résout le système formé par l'équation de \((P)\) et la représentation paramétrique de la droite :

\[ \begin{cases} x + y + z + 4 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = -1 + t \end{cases} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan :

\[ (1 + t) + (-1 + t) + (-1 + t) + 4 = 0 \]

\[ 1 + t - 1 + t - 1 + t + 4 = 0 \]

\[ 3t + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -1 \]

En substituant \(t = -1\) :

\[ x = 1 + (-1) = 0,\quad y = -1 + (-1) = -2,\quad z = -1 + (-1) = -2 \]

\[ \boxed{H(0, -2, -2)} \]

2. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\) et équation du plan \((OAB)\)

On a \(A(2, 1, 1)\) et \(B(1, 0, 1)\).

Calculons \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) :

\[ \overrightarrow{OA} = (2, 1, 1),\quad \overrightarrow{OB} = (1, 0, 1) \]

Calculons le produit vectoriel :

\[ \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (1 \times 1 - 1 \times 0)\vec{i} - (2 \times 1 - 1 \times 1)\vec{j} + (2 \times 0 - 1 \times 1)\vec{k} \]

\[ = (1 - 0)\vec{i} - (2 - 1)\vec{j} + (0 - 1)\vec{k} \]

\[ = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}} \]

Le plan \((OAB)\) passe par l'origine \(O(0, 0, 0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, -1, -1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ 1 \times x + (-1) \times y + (-1) \times z = 0 \]

\[ x - y - z = 0 \]

\[ \boxed{(OAB) : x - y - z = 0} \]

2. b) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, -1, -1)\) et est orthogonale au plan \((OAB)\).

Le plan \((OAB)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, -1, -1)\).

Donc \((\Delta)\) admet \(\vec{n}\) comme vecteur directeur.

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{n},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ (x - 1,\; y + 1,\; z + 1) = t(1, -1, -1) \]

Ce qui donne le système :

\[ \begin{cases} x - 1 = t \\ y + 1 = -t \\ z + 1 = -t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \boxed{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = -1 - t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}} \]

2. c) Intersection de \((\Delta)\) avec la sphère \((S)\)

La sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1, -1, -1)\) et rayon \(R = \sqrt{3}\).

Son équation cartésienne est :

\[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 3 \]

Pour déterminer les points d'intersection, on résout le système formé par l'équation de la sphère et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 3 \\ x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = -1 - t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation de la sphère :

\[ ((1 + t) - 1)^2 + ((-1 - t) + 1)^2 + ((-1 - t) + 1)^2 = 3 \]

\[ (t)^2 + (-t)^2 + (-t)^2 = 3 \]

\[ t^2 + t^2 + t^2 = 3t^2 = 3 \]

\[ t^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad t = 1 \text{ ou } t = -1 \]

Pour \(t = 1\) :

\[ x = 1 + 1 = 2,\quad y = -1 - 1 = -2,\quad z = -1 - 1 = -2 \]

Pour \(t = -1\) :

\[ x = 1 + (-1) = 0,\quad y = -1 - (-1) = 0,\quad z = -1 - (-1) = 0 \]

Donc les deux points d'intersection sont :

\[ \boxed{E(2, -2, -2) \text{ et } F(0, 0, 0)} \]

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