Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère le plan \((P)\) d'équation \(2x - z - 2 = 0\) et la sphère \((S)\) d'équation : \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0\).
- 1 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(-1, 0, 1)\) et son rayon est \(3\). (1 Pt)
-
2
a Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\). (0,5 Pt)b En déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\). (0,5 Pt)
- 3 Montrer que le rayon du cercle \((\Gamma)\) est \(2\) et déterminer les coordonnées du point \(H\) centre du cercle \((\Gamma)\). (1 Pt)
1. Centre et rayon de la sphère \((S)\)
L'équation de la sphère est :
On identifie les coefficients :
Donc le centre de la sphère \((S)\) est :
Calculons le rayon :
2. a) Distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\)
Le plan \((P)\) a pour équation : \(2x - z - 2 = 0\).
La distance du point \(\Omega(-1, 0, 1)\) au plan \((P)\) est donnée par :
2. b) Intersection du plan \((P)\) avec la sphère \((S)\)
On a \(d = \sqrt{5}\) et \(R = 3\).
Puisque \(d < R\) (car \(\sqrt{5} \approx 2,236 < 3\)), le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).
3. Rayon du cercle \((\Gamma)\) et coordonnées du centre \(H\)
Le rayon \(r\) du cercle d'intersection vérifie :
Le point \(H\) est le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) sur le plan \((P)\).
La droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega(-1,0,1)\) et orthogonale à \((P)\) a pour vecteur directeur \(\vec{n}(2, 0, -1)\).
Représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
Pour déterminer \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((P)\) et la représentation paramétrique de \((\Delta)\) :
En remplaçant \(x\) et \(z\) dans l'équation du plan :
En substituant \(t = 1\) dans la représentation paramétrique, on obtient les coordonnées de \(H\) :