Géométrie dans l'espace — Session Normale 2013 — Correction détaillée — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2013 | Sphère, plan et cercle | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2013 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Normale 2013

Énoncé

On considère dans le l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(-1, 1, 0)\), \(B(1, 0, 1)\) et \(\Omega(1, 1, -1)\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(3\).

1

a Montrer que \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\) et vérifier que \(x + y - z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OAB)\). (0,5 P^t)

b Vérifier que \(d(\Omega ,(OAB)) = \sqrt{3}\) puis montrer que le plan \((OAB)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(\sqrt{6}\). (0,5 P^t)
2

a Démontrer que \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - t \end{cases}\) \((t \in \mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\). (0,75 P^t)

b Déterminer le triplet de coordonnées du centre du cercle \((\Gamma)\). (0,75 P^t)

✓ Correction détaillée

1. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\) et équation du plan \((OAB)\)

Calculons \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) :

\[ \overrightarrow{OA}(-1 - 0,\; 1 - 0,\; 0 - 0) = (-1, 1, 0) \]

\[ \overrightarrow{OB}(1 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - 0) = (1, 0, 1) \]

Calculons \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\) :

\[ \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = (1 \times 1 - 0 \times 0)\vec{i} - ((-1) \times 1 - 0 \times 1)\vec{j} + ((-1) \times 0 - 1 \times 1)\vec{k} \]

\[ = (1 - 0)\vec{i} - (-1 - 0)\vec{j} + (0 - 1)\vec{k} \]

\[ = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = (1, 1, -1)} \]

Le plan \((OAB)\) passe par l'origine \(O(0,0,0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 1, -1)\). Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ 1(x - 0) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0 \]

\[ x + y - z = 0 \]

\[ \boxed{(OAB) : x + y - z = 0} \]

1. b) Distance du point \(\Omega\) au plan \((OAB)\) et intersection cercle

Le plan \((OAB)\) a pour équation : \(x + y - z = 0\). La distance de \(\Omega(1, 1, -1)\) à \((OAB)\) est :

\[ d(\Omega, (OAB)) = \frac{|1 \times 1 + 1 \times 1 - 1 \times (-1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 1 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

\[ \boxed{d(\Omega, (OAB)) = \sqrt{3}} \]

Puisque \(d = \sqrt{3} < R = 3\), le plan \((OAB)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).

Soit \(r\) le rayon du cercle d'intersection. On a la relation :

\[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6} \]

\[ \boxed{r = \sqrt{6}} \]

2. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, 1, -1)\) et est perpendiculaire au plan \((OAB)\).

Le plan \((OAB)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 1, -1)\). Donc \((\Delta)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (1, 1, -1)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{u},\quad t \in \mathbb{R} \]

Ce qui donne :

\[ (x - 1,\; y - 1,\; z + 1) = t(1, 1, -1) \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

\[ \boxed{(\Delta) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - t \end{cases},\; t \in \mathbb{R}} \]

2. b) Centre du cercle \((\Gamma)\)

Le cercle \((\Gamma)\) est l'intersection du plan \((OAB)\) avec la sphère \((S)\).

Le centre du cercle \((\Gamma)\) est le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) de la sphère sur le plan \((OAB)\).

Ce projeté est précisément le point d'intersection \(H\) de la droite \((\Delta)\) (passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((OAB)\)) avec le plan \((OAB)\).

Pour déterminer \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((OAB)\) et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation du plan :

\[ (1 + t) + (1 + t) - (-1 - t) = 0 \]

\[ 1 + t + 1 + t + 1 + t = 0 \]

\[ 3 + 3t = 0 \quad\Rightarrow\quad 3t = -3 \quad\Rightarrow\quad t = -1 \]

Pour \(t = -1\) :

\[ x = 1 + (-1) = 0,\quad y = 1 + (-1) = 0,\quad z = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 \]

Donc le centre du cercle \((\Gamma)\) est :

\[ \boxed{H(0, 0, 0) = O} \]

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