On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(1, 1, -1)\), \(B(0, 1, -2)\), \(C(3, 2, 1)\) et la sphère \((S)\) d'équation : \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 1 = 0\).
- 1 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(1, 0, 1)\) et que son rayon est \(\sqrt{3}\). (0,5 Pt)
-
2
a Montrer que : \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} - \vec{k}\) puis vérifier que \(x - z - 2 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,75 Pt)b Vérifier que : \(d(\Omega ,(ABC)) = \sqrt{2}\) puis en déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(1\). (1 Pt)
-
3
a Montrer que : \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 \\ z = 1 - t \end{cases}\) \((t \in \mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\). (0,25 Pt)b Montrer que le triplet de coordonnées du point \(H\) point d'intersection de la droite \((\Delta)\) et le plan \((ABC)\) est \((2, 0, 0)\). (0,25 Pt)c En déduire le centre du cercle \((\Gamma)\). (0,25 Pt)
1. Centre et rayon de la sphère \((S)\)
L'équation de la sphère est :
On identifie les coefficients :
Donc le centre de la sphère \((S)\) est :
Calculons le rayon :
2. a) Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et équation du plan \((ABC)\)
Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :
Le plan \((ABC)\) passe par \(A(1, 1, -1)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 0, -1)\). Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :
2. b) Distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\) et intersection cercle
Le plan \((ABC)\) a pour équation : \(x - z - 2 = 0\). La distance de \(\Omega(1, 0, 1)\) à \((ABC)\) est :
Puisque \(d = \sqrt{2} < R = \sqrt{3}\), le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).
Soit \(r\) le rayon du cercle d'intersection. On a la relation :
3. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1, 0, 1)\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1, 0, -1)\). Donc \((\Delta)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (1, 0, -1)\).
Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :
Ce qui donne :
D'où la représentation paramétrique :
3. b) Point d'intersection \(H\) de \((\Delta)\) et \((ABC)\)
Pour déterminer le point d'intersection \(H\), on résout le système formé par l'équation du plan \((ABC)\) et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :
Remplaçons \(x\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation du plan :
Pour \(t = 1\) :
Donc le point d'intersection est :
3. c) Centre du cercle \((\Gamma)\)
Le cercle \((\Gamma)\) est l'intersection du plan \((ABC)\) avec la sphère \((S)\).
Le centre du cercle \((\Gamma)\) est le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) de la sphère sur le plan \((ABC)\).
Ce projeté est précisément le point d'intersection \(H\) de la droite \((\Delta)\) (passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\)) avec le plan \((ABC)\).
Donc le centre du cercle \((\Gamma)\) est :