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Plan dans l'espace - Équation cartésienne | Exercices 10, 11, 12 corrigés | Dima20

📐 Plan dans l'espace - Équation cartésienne | Exercices 10, 11, 12 corrigés

10 Énoncé d'exercice 10

Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(2,3,4)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1,2,5)\).

✓ Corrigé Exercice 10

📌 Méthode : Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\) passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) a pour équation :

\[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \]

Application : Avec \(A(2,3,4)\) et \(\vec{n}(1,2,5)\) :

\[ 1(x-2) + 2(y-3) + 5(z-4) = 0 \]

\[ x - 2 + 2y - 6 + 5z - 20 = 0 \]

\[ x + 2y + 5z - 28 = 0 \]

✅ Réponse :

\[ \boxed{(P) : x + 2y + 5z - 28 = 0} \]

11 Énoncé d'exercice 11

Déterminer l'équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(2,1,3)\) et dirigé par les vecteurs \(\vec{u}(2,1,3)\) et \(\vec{v}(4,2,1)\).

✓ Corrigé Exercice 11

📌 Méthode : Un vecteur normal est donné par le produit vectoriel \(\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}\).

Calcul du produit vectoriel :

\[ \vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = (1\times1 - 3\times2)\vec{i} - (2\times1 - 3\times4)\vec{j} + (2\times2 - 1\times4)\vec{k} \]

\[ = (1 - 6)\vec{i} - (2 - 12)\vec{j} + (4 - 4)\vec{k} \]

\[ = -5\vec{i} + 10\vec{j} + 0\vec{k} \quad \text{soit} \quad \vec{n}(-5,10,0) \]

On peut simplifier par \(-5\) : \(\vec{n}(-1,2,0)\).

Équation du plan : Avec \(A(2,1,3)\) :

\[ -1(x-2) + 2(y-1) + 0(z-3) = 0 \]

\[ -x + 2 + 2y - 2 = 0 \]

\[ -x + 2y = 0 \]

✅ Réponse :

\[ \boxed{(P) : -x + 2y = 0 \quad \text{ou} \quad x - 2y = 0} \]

12 Énoncé d'exercice 12

Soient \(A(2,1,0)\), \(B(3,2,4)\) et \(C(1,0,2)\). Déterminer l'équation cartésienne du plan \((ABC)\).

✓ Corrigé Exercice 12

📌 Méthode : Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\).

Vecteurs :

\[ \overrightarrow{AB}(1,1,4) \quad ; \quad \overrightarrow{AC}(-1,-1,2) \]

Produit vectoriel :

\[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = (1\times2 - 4\times(-1))\vec{i} - (1\times2 - 4\times(-1))\vec{j} + (1\times(-1) - 1\times(-1))\vec{k} \]

\[ = (2 + 4)\vec{i} - (2 + 4)\vec{j} + (-1 + 1)\vec{k} \]

\[ = 6\vec{i} - 6\vec{j} + 0\vec{k} \quad \text{soit} \quad \vec{n}(6,-6,0) \]

On simplifie : \(\vec{n}(1,-1,0)\).

Équation du plan : Avec \(A(2,1,0)\) :

\[ 1(x-2) - 1(y-1) + 0(z-0) = 0 \]

\[ x - 2 - y + 1 = 0 \]

\[ x - y - 1 = 0 \]

✅ Réponse :

\[ \boxed{(ABC) : x - y - 1 = 0} \]

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