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🔢 Nombres Complexes I (contenu du PDF à télécharger)
1 — L'ensemble ℂ des nombres complexes
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme \(z = x + iy\) où \(x\) et \(y\) sont des nombres réels et \(i\) est un nombre imaginaire tel que \(i^2 = -1\).
L'ensemble des nombres complexes est noté \(\mathbb{C}\).
- \(x\) est appelé la partie réelle de \(z\) : \(x = \operatorname{Re}(z)\)
- \(y\) est appelé la partie imaginaire de \(z\) : \(y = \operatorname{Im}(z)\)
- Si \(y = 0\), alors \(z = x \in \mathbb{R}\) ; donc \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).
- Si \(x = 0\) et \(y \neq 0\), alors \(z = iy\) est un imaginaire pur.
- Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
2 — Opérations dans ℂ
Soient \(z = a + ib\) et \(z' = c + id\) deux nombres complexes.
- \(z + z' = (a + c) + i(b + d)\)
- \(z \times z' = (ac - bd) + i(ad + bc)\)
- Pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) : \(\lambda z = \lambda a + i(\lambda b)\)
3 — Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe \(z = x + iy\) est le nombre complexe noté \(\overline{z}\) défini par :
Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\) :
- \(\overline{\overline{z}} = z\)
- \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\)
- \(\overline{z \times w} = \overline{z} \times \overline{w}\)
- \(\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}\) pour \(w \neq 0\)
- \(z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z\)
- \(z\) est imaginaire pur \(\iff \overline{z} = -z\)
4 — Module d'un nombre complexe
Le module du nombre complexe \(z = x + iy\) est le nombre réel positif noté \(|z|\) défini par :
Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\) :
- \(|z| \geq 0\) et \(|z| = 0 \iff z = 0\)
- \(|z \times w| = |z| \times |w|\)
- \(\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}\) pour \(w \neq 0\)
- \(|\overline{z}| = |z|\)
- Inégalité triangulaire : \(|z + w| \leq |z| + |w|\)
5 — Équations dans ℂ
5.1 Équations du premier degré
L'équation \(az + b = 0\) avec \(a, b \in \mathbb{C}\) et \(a \neq 0\) admet une unique solution : \(z = -\frac{b}{a}\).
5.2 Équations du second degré à coefficients réels
On calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) :
- Si \(\Delta > 0\) : deux solutions réelles distinctes : \(z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Si \(\Delta = 0\) : une solution réelle double : \(z_0 = -\frac{b}{2a}\)
- Si \(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées : \(z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \overline{z_1}\)
6 — Représentation géométrique
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\), à tout nombre complexe \(z = x + iy\) on associe le point \(M(x, y)\) d'affixe \(z\).
- L'axe des abscisses (axe des réels) contient les nombres réels.
- L'axe des ordonnées (axe des imaginaires) contient les imaginaires purs.
- Le module \(|z|\) représente la distance \(OM\).
Le point d'affixe \(\overline{z}\) est le symétrique du point d'affixe \(z\) par rapport à l'axe des réels.
7 — Tableau récapitulatif
| Forme | Expression | Conditions |
|---|---|---|
| Forme algébrique | \(z = x + iy\) | \(x, y \in \mathbb{R}\) |
| Conjugué | \(\overline{z} = x - iy\) | |
| Module | \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\) | \(|z|^2 = z \cdot \overline{z}\) |
| Partie réelle | \(\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}\) | |
| Partie imaginaire | \(\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}\) |
OUADJI Jaouad | 2.2 Mo