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📐 La continuité (contenu du PDF à télécharger)
1 — Continuité en un point
1.1 Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un domaine \(D_f\), et soit \(x_0 \in D_f\).
On dit que \(f\) est continue au point \(x_0\) si et seulement si :
1.2 Continuité à droite et à gauche
Soit \(f\) une fonction définie sur \(D_f\), et soit \(x_0 \in D_f\).
- \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si : \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\)
- \(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si : \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\)
Une fonction \(f\) est continue en un point \(x_0\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(x_0\).
2 — Continuité sur un intervalle
2.1 Définitions
- \(f\) est continue sur un intervalle ouvert \(]a,b[\) si elle est continue en tout point de \(]a,b[\).
- \(f\) est continue sur un intervalle fermé \([a,b]\) si :
- Elle est continue sur \(]a,b[\)
- Elle est continue à droite en \(a\)
- Elle est continue à gauche en \(b\)
2.2 Opérations sur les fonctions continues
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).
- \(f + g\), \(f - g\), \(f \times g\), et \(a \times f\) (avec \(a \in \mathbb{R}\)) sont continues sur \(I\).
- \(\dfrac{1}{g}\) et \(\dfrac{f}{g}\) sont continues sur \(I\) pour \(g(x) \neq 0\).
3 — Continuité des fonctions usuelles
- Toute fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb{R}\).
- Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
- Les fonctions \(\sin x\) et \(\cos x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La fonction \(\tan x\) est continue sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\).
- La fonction \(\sqrt{x}\) est continue sur \([0, +\infty[\).
4 — Image d'un intervalle par une fonction continue
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
- L'image \(f(I)\) est un intervalle.
- Si \(I = [a,b]\) est un segment, alors \(f(I) = [m,M]\) est aussi un segment, où :
\[ m = \min_{x \in [a,b]} f(x) \quad \text{et} \quad M = \max_{x \in [a,b]} f(x) \]
4.1 Cas des fonctions strictement monotones
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors :
- Si \(f\) est strictement croissante : \(\displaystyle f(I) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x),\; \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\)
- Si \(f\) est strictement décroissante : \(\displaystyle f(I) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x),\; \lim_{x \to a^+} f(x)\right[\)
5 — Continuité de la composée
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que :
- \(f\) est continue en \(x_0\)
- \(g\) est continue en \(f(x_0)\)
Alors la fonction composée \(g \circ f\) est continue en \(x_0\).
Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(g\) est continue sur \(f(I)\), alors \(g \circ f\) est continue sur \(I\).
6 — Théorème des valeurs intermédiaires
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\).
Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a,b]\) tel que :
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et si \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a,b[\).
Si de plus \(f\) est strictement monotone sur \([a,b]\), alors la solution \(c\) est unique.
7 — Fonction réciproque
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\).
Alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J = f(I)\), et :
- \(f^{-1}\) est continue sur \(J\)
- \(f^{-1}\) a la même monotonie que \(f\)
- Les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\)
7.1 Relation entre \(f\) et \(f^{-1}\)
Pour tout \(x \in I\) et \(y \in J\) :
Et on a :
8 — Fonction racine n-ième
8.1 Définition
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^*\), la fonction \(f(x) = x^n\) est continue et strictement croissante sur \([0, +\infty[\).
Sa fonction réciproque est appelée fonction racine n-ième et est notée :
Cette fonction est définie et continue sur \([0, +\infty[\).
8.2 Propriétés algébriques
Pour \(a,b > 0\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
- \(\sqrt[n]{1} = 1\), \(\sqrt[n]{0} = 0\)
- \(\sqrt[n]{a^n} = a\)
- \((\sqrt[n]{a})^n = a\)
- \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b} \iff a = b\)
- \(\sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{b} \iff a \leq b\)
- \(\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}\)
- \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
- \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \times m]{a}\)
8.3 Limites
Plus généralement, si \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), alors :
Et si \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \geq 0\), alors :
9 — Puissance rationnelle
9.1 Définition
Soit \(x > 0\), \(n \in \mathbb{N}^*\), et \(m \in \mathbb{Z}\).
On définit la puissance rationnelle d'exposant \(r = \dfrac{m}{n}\) par :
Par convention, \(0^r = 0\) pour \(r > 0\).
9.2 Propriétés
Pour \(a,b > 0\) et \(r,s \in \mathbb{Q}\) :
- \(a^r \times a^s = a^{r+s}\)
- \((a^r)^s = a^{r \times s}\)
- \(a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}\)
- \((a \times b)^r = a^r \times b^r\)
- \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}\)
- \(a^r = b^r \iff a = b\) (si \(r \neq 0\))
10 — Récapitulatif des propriétés de continuité
| Fonction / Propriété | Continuité |
|---|---|
| Fonction polynomiale \(P(x)\) | Continue sur \(\mathbb{R}\) |
| Fonction rationnelle \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) | Continue sur \(\mathbb{R} \setminus \{x : Q(x)=0\}\) |
| \(\sin x\), \(\cos x\) | Continue sur \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | Continue sur \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\) |
| \(\sqrt{x}\) | Continue sur \([0,+\infty[\) |
| \(\sqrt[n]{x}\) | Continue sur \([0,+\infty[\) |
| Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) | Continue sur l'intervalle |
| Composée de fonctions continues | Continue sur l'intervalle |
OUADJI Jaouad | 1.8 Mo