Géométrie dans l'espace — Session Normale 2009 — Extrait d'Examen National — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2009 | Sphère et plan tangent | Dima20

Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2009 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace Session Normale 2009

Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(-2, 2, 8)\), \(B(6, 6, 0)\), \(C(2, -1, 0)\) et \(D(0, 1, -1)\) et \((S)\) l'ensemble des points \(M\) de l'espace qui vérifient \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

1 Déterminer le triple des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x + 2y + 2z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OCD)\). (0,75 P^t)
2 Vérifier que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 4, 4)\) et de rayon \(6\). (0,5 P^t)
3

a Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD)\). (0,5 P^t)

b En déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\). (0,5 P^t)

c Vérifier que : \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\) puis en déduire que le point \(O\) est le point de contact de la sphère \((S)\) et le plan \((OCD)\). (0,75 P^t)

✓ Correction détaillée

1. Produit vectoriel \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) et équation du plan \((OCD)\)

On a \(C(2, -1, 0)\), \(D(0, 1, -1)\) et \(O(0, 0, 0)\). Donc :

\[ \overrightarrow{OC}(2, -1, 0),\quad \overrightarrow{OD}(0, 1, -1) \]

Calculons \(\vec{n} = \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) :

\[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = ((-1)\times(-1) - 0\times1)\vec{i} - (2\times(-1) - 0\times0)\vec{j} + (2\times1 - (-1)\times0)\vec{k} \]

\[ = (1 - 0)\vec{i} - (-2 - 0)\vec{j} + (2 - 0)\vec{k} = \vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD} = (1, 2, 2)} \]

Le plan \((OCD)\) passe par \(O(0,0,0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1,2,2)\). Pour tout point \(M(x,y,z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1(x-0) + 2(y-0) + 2(z-0) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z = 0 \]

\[ \boxed{(OCD) : x + 2y + 2z = 0} \]

2. Nature de l'ensemble \((S)\)

On a \(A(-2, 2, 8)\), \(B(6, 6, 0)\) et \(M(x, y, z)\). La condition \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) donne :

\[ \overrightarrow{MA}(-2-x,\; 2-y,\; 8-z),\quad \overrightarrow{MB}(6-x,\; 6-y,\; -z) \]

\[ (-2-x)(6-x) + (2-y)(6-y) + (8-z)(-z) = 0 \]

Développons :

\[ (-2-x)(6-x) = -12 + 2x - 6x + x^2 = -12 - 4x + x^2 \]

\[ (2-y)(6-y) = 12 - 2y - 6y + y^2 = 12 - 8y + y^2 \]

\[ (8-z)(-z) = -8z + z^2 \]

En additionnant :

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 8y - 8z + (-12 + 12) = 0 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 8y - 8z = 0 \]

Complétons les carrés :

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + (z - 4)^2 - 16 = 0 \]

\[ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 36 \]

Donc \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 4, 4)\) et de rayon \(R = \sqrt{36} = 6\).

\[ \boxed{\Omega(2, 4, 4),\quad R = 6} \]

3. a) Distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD)\)

Le plan \((OCD)\) a pour équation : \(x + 2y + 2z = 0\). La distance est :

\[ d(\Omega, (OCD)) = \frac{|1\times2 + 2\times4 + 2\times4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 8 + 8|}{\sqrt{9}} = \frac{18}{3} = 6 \]

\[ \boxed{d(\Omega, (OCD)) = 6} \]

3. b) Tangence du plan \((OCD)\) à la sphère \((S)\)

On a \(d(\Omega, (OCD)) = 6\) et \(R = 6\). Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\).

\[ \boxed{(OCD) \text{ est tangent à } (S)} \]

3. c) Point de contact de la sphère \((S)\) et du plan \((OCD)\)

Vérifions que \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\) :

\[ \overrightarrow{OA}(-2, 2, 8),\quad \overrightarrow{OB}(6, 6, 0) \]

\[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (-2)\times6 + 2\times6 + 8\times0 = -12 + 12 + 0 = 0 \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0} \]

Le point de contact est l'unique point d'intersection entre la sphère et son plan tangent.

Vérifions que \(O(0,0,0)\) appartient au plan \((OCD)\) : \(0 + 2\times0 + 2\times0 = 0\).

Vérifions que \(O\) appartient à la sphère \((S)\) :

\[ (0-2)^2 + (0-4)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36 = 6^2 \]

Donc \(O\) appartient à la fois à \((S)\) et à \((OCD)\). Par conséquent, \(O\) est le point de contact.

\[ \boxed{O \text{ est le point de contact de } (S) \text{ et } (OCD)} \]

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