On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points :
\(A(-2, 2, 8)\), \(B(6, 6, 0)\), \(C(2, -1, 0)\) et \(D(0, 1, -1)\)
et \((S)\) l'ensemble des points \(M\) de l'espace qui vérifient \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
1
Déterminer le triple des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x + 2y + 2z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OCD)\).
(0,75 Pt)
2
Vérifier que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2, 4, 4)\) et de rayon \(6\).
(0,5 Pt)
3
Soit le plan \((OCD)\) :
a
Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD)\).
(0,5 Pt)
b
En déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à la sphère \((S)\).
(0,5 Pt)
c
Vérifier que : \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\) puis en déduire que le point \(O\) est le point de contact de la sphère \((S)\) et le plan \((OCD)\).
(0,75 Pt)
✅ Correction détaillée
Question 1
Calcul du produit vectoriel :
\(\overrightarrow{OC}(2, -1, 0)\) et \(\overrightarrow{OD}(0, 1, -1)\)
\(\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)
\(= ( (-1)\times(-1) - 0\times1 )\vec{i} - ( 2\times(-1) - 0\times0 )\vec{j} + ( 2\times1 - (-1)\times0 )\vec{k}\)
\(= (1 - 0)\vec{i} - (-2 - 0)\vec{j} + (2 - 0)\vec{k}\)
\(\boxed{\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OD} = (1, 2, 2)}\)
Le plan \((OCD)\) passe par \(O(0,0,0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1,2,2)\).
Pour tout point \(M(x,y,z)\) du plan : \(\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0\)
\(\Rightarrow 1(x-0) + 2(y-0) + 2(z-0) = 0\)
\(\boxed{(OCD) : x + 2y + 2z = 0}\)
Question 2
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) avec \(M(x,y,z)\)
\(\overrightarrow{MA}(-2-x, 2-y, 8-z)\) et \(\overrightarrow{MB}(6-x, 6-y, -z)\)
\((-2-x)(6-x) + (2-y)(6-y) + (8-z)(-z) = 0\)
\((-12 -4x + x^2) + (12 -8y + y^2) + (-8z + z^2) = 0\)
\(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 8y - 8z = 0\)
On complète les carrés :
\((x-2)^2 - 4 + (y-4)^2 - 16 + (z-4)^2 - 16 = 0\)
\((x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 36\)
\(\boxed{\Omega(2,4,4)\text{ et } R = \sqrt{36} = 6}\)
Question 3a
Distance du point \(\Omega\) au plan \((OCD) : x + 2y + 2z = 0\)
\(d = \dfrac{|1\times2 + 2\times4 + 2\times4 + 0|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}\)
\(d = \dfrac{|2 + 8 + 8|}{\sqrt{1+4+4}} = \dfrac{18}{\sqrt{9}} = \dfrac{18}{3} = 6\)
\(\boxed{d(\Omega, (OCD)) = 6}\)
Question 3b
On a \(d(\Omega, (OCD)) = 6\) et \(R = 6\)
Puisque la distance du centre au plan est égale au rayon, le plan est tangent à la sphère.
\(\boxed{(OCD) \text{ est tangent à } (S)}\)
Question 3c
Vérifions \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\) :
\(\overrightarrow{OA}(-2, 2, 8)\) et \(\overrightarrow{OB}(6, 6, 0)\)
\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (-2)\times6 + 2\times6 + 8\times0 = -12 + 12 + 0 = 0\)
\(\boxed{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0}\)
Le point \(O(0,0,0)\) :
- Appartient au plan \((OCD)\) car \(0 + 2\times0 + 2\times0 = 0\)
- Appartient à la sphère \((S)\) : \((0-2)^2 + (0-4)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36 = 6^2\)
Donc \(O\) est l'unique point d'intersection entre la sphère et le plan tangent.
\(\boxed{O \text{ est le point de contact}}\)