Géométrie dans l'espace - Normale 2008 - Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

Géométrie dans l'espace- Session Normale 2008 -Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

📐 Géométrie dans l'espace- Session Normale 2008 -Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

📌 Sphère et plan dans l'espace | Série : 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

📝 Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les deux points \(A(0, -1, 1)\), \(B(1, -1, 0)\) et la sphère \((S)\) d'équation :

\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4z + 2 = 0 \]

1 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(1, 0, 2)\) et que son rayon est \(\sqrt{3}\) puis vérifier que \(A\) appartient à \((S)\). (1,25P^t)
2 Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\) et montrer que \(x + y + z = 0\) est une équation cartésienne du plan \((OAB)\). (1,25P^t)
3 Montrer que le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\). (0,5P^t)

✅ Correction détaillée — Géométrie dans l'espace- Session Normale 2008 -Examen National du Baccalauréat — 2ème Bac Sciences Physiques BIOF

1 Centre, rayon de la sphère \((S)\) et appartenance de \(A\)

Données utilisées : on a :

\[ (S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4z + 2 = 0 \]

\[ A(0, -1, 1) \]

L'équation cartésienne de la sphère est :

\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4z + 2 = 0 \]

Alors :

\[ x_\Omega = \frac{-2}{-2} = 1,\quad y_\Omega = \frac{0}{-2} = 0,\quad z_\Omega = \frac{-4}{-2} = 2 \]

Donc le centre de la sphère \((S)\) est :

\[ \boxed{\Omega(1, 0, 2)} \]

Calculons le rayon :

\[ R = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (2)^2 - 2} = \sqrt{1 + 0 + 4 - 2} = \sqrt{3} \]

\[ \boxed{R = \sqrt{3}} \]

Vérifions que \(A(0, -1, 1)\) appartient à \((S)\) :

\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4z + 2 = 0^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} - 2(0) - 4(1) + 2 \]

\[ = 0 + 1 + 1 - 0 - 4 + 2 = 0 \]

\[ \boxed{A \in (S)} \]

2 Produit vectoriel \(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\) et équation du plan \((OAB)\)

Données utilisées : on a :

\[ A(0, -1, 1),\quad B(1, -1, 0),\quad O(0, 0, 0) \]

Calculons \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) :

\[ \overrightarrow{OA}(0 - 0,\; -1 - 0,\; 1 - 0) = (0, -1, 1) \]

\[ \overrightarrow{OB}(1 - 0,\; -1 - 0,\; 0 - 0) = (1, -1, 0) \]

Calculons \(\vec{n} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}\) :

\[ \vec{n} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = ((-1)\times0 - 1\times(-1))\vec{i} - (0\times0 - 1\times1)\vec{j} + (0\times(-1) - (-1)\times1)\vec{k} \]

\[ = (0 + 1)\vec{i} - (0 - 1)\vec{j} + (0 + 1)\vec{k} \]

\[ = 1\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = (1, 1, 1)} \]

Le plan \((OAB)\) passe par l'origine \(O(0,0,0)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1,1,1)\).

Pour tout point \(M(x,y,z)\) appartenant à \((OAB)\), on a :

\[ \overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ \Leftrightarrow 1(x - 0) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \]

\[ \Leftrightarrow x + y + z = 0 \]

Donc l'équation cartésienne du plan \((OAB)\) est :

\[ \boxed{(OAB) : x + y + z = 0} \]

3 Le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\)

Données utilisées : on a :

\[ \Omega(1, 0, 2),\quad R = \sqrt{3},\quad A(0, -1, 1),\quad (OAB) : x + y + z = 0 \]

Un plan est tangent à une sphère en un point si et seulement si :

Le point appartient à la fois au plan et à la sphère.
La distance du centre de la sphère au plan est égale au rayon.

Vérifions que \(A\) appartient au plan \((OAB)\) :

\[ x_A + y_A + z_A = 0 + (-1) + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad A \in (OAB) \]

Calculons la distance du centre \(\Omega(1,0,2)\) au plan \((OAB) : x + y + z = 0\) :

\[ d(\Omega, (OAB)) = \frac{|1 + 0 + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

On a : \(d(\Omega, (OAB)) = \sqrt{3} = R\).

Donc le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\).

\[ \boxed{\text{Le plan } (OAB) \text{ est tangent à la sphère } (S) \text{ au point } A} \]

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