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📐 Chapitre 1 : Produit scalaire dans l'espace
1 — Produit scalaire dans l'espace
1.1 Définition géométrique
Soient \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) deux vecteurs non nuls de l'espace \( P \). Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points tels que \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} \). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\).
Le produit scalaire de \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) est défini par :
\[
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}.
\]
Par convention, si \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \) ou \( \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \), alors \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \).
1.2 Propriétés et remarques
- Carré scalaire : \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}^2 \geq 0 \).
- Norme d'un vecteur : \( \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{\overrightarrow{u}^2} = \sqrt{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}} \).
- Expression trigonométrique : Si \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont non nuls, \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \, \|\overrightarrow{v}\| \, \cos(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}). \]
- Orthogonalité : \( \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \).
- Colinéarité (même sens) : \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) colinéaires de même sens \( \Rightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \, \|\overrightarrow{v}\| \).
1.3 Propriétés algébriques
Pour tous vecteurs \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \) et tout réel \( \alpha \) :
- Symétrie : \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} \).
- Bilinéarité : \[ \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w},\quad (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} \] \[ (\alpha \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \alpha (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \]
- Identités remarquables : \[ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2,\quad (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 - 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2 \] \[ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2 \]
2 — Bases et repères orthonormés
2.1 Rappel : déterminant de trois vecteurs
Soient \( \overrightarrow{u}(x, y, z) \), \( \overrightarrow{v}(x', y', z') \) et \( \overrightarrow{w}(x'', y'', z'') \) dans une base \( (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \).
Le déterminant de ces trois vecteurs est :
\[
\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}) =
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
x' & y' & z' \\
x'' & y'' & z''
\end{vmatrix}.
\]
Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur déterminant est nul.
2.2 Base et repère orthonormé
Un triplet \( (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \) de vecteurs non coplanaires (\( \det(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \neq 0 \)) forme une base de l'espace.
Un quadruplet \( (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \), où \(O\) est un point et \( (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \) une base, est un repère de l'espace.
Si de plus les vecteurs de la base sont deux à deux orthogonaux et de norme 1, c'est-à-dire : \[ \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k} = \overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{i} = 0 \quad \text{et} \quad \|\overrightarrow{i}\| = \|\overrightarrow{j}\| = \|\overrightarrow{k}\| = 1, \] alors :
- La base \( (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \) est dite orthonormée.
- Le repère \( (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \) est dit orthonormé.
3 — Expression analytique du produit scalaire
3.1 Coordonnées dans une base orthonormée
Soient \( \overrightarrow{u}(x, y, z) \) et \( \overrightarrow{v}(x', y', z') \) deux vecteurs.
- Leur produit scalaire est : \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz' \).
- La norme de \( \overrightarrow{u} \) est : \( \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \).
- La distance entre deux points \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\) est : \[ AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}. \]
4 — Plan défini par un point et un vecteur normal
4.1 Vecteur normal à un plan
Un vecteur non nul \( \overrightarrow{n} \) est dit normal à un plan \( (P) \) si sa direction est orthogonale à toute droite contenue dans \( (P) \).
Si \( \overrightarrow{n} \) est normal à \( (P) \) et si \(A \in (P)\), on note \( (P) = P(A, \overrightarrow{n}) \).
4.2 Équation cartésienne d'un plan
Soient \(A(x_A, y_A, z_A)\) un point et \( \overrightarrow{n}(a, b, c) \) un vecteur non nul.
L'ensemble des points \(M(x, y, z)\) tels que \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \) est le plan \( P(A, \overrightarrow{n}) \).
Son équation cartésienne est :
\[
a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \quad \text{soit} \quad ax + by + cz + d = 0,
\]
avec \( d = -(a x_A + b y_A + c z_A) \).
Réciproque : Toute équation de la forme \( ax + by + cz + d = 0 \), avec \((a, b, c) \neq (0,0,0)\), est l'équation d'un plan dont un vecteur normal est \( \overrightarrow{n}(a, b, c) \).
5 — Distance d'un point à un plan
Soit \( (P) : ax + by + cz + d = 0 \) un plan et \(A(x_A, y_A, z_A)\) un point.
La distance de \(A\) à \( (P) \) est donnée par :
\[
d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
\]
6 — Parallélisme et orthogonalité
6.1 Deux plans
Soient \( (P_1) : a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \) et \( (P_2) : a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \), de vecteurs normaux respectifs \( \overrightarrow{n_1} \) et \( \overrightarrow{n_2} \).
- \( (P_1) \parallel (P_2) \iff \overrightarrow{n_1} \) et \( \overrightarrow{n_2} \) sont colinéaires \( \iff \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \) (lorsque les dénominateurs sont non nuls).
- \( (P_1) \perp (P_2) \iff \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \iff a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \).
6.2 Droite et plan
Soit \( (D) \) une droite de vecteur directeur \( \overrightarrow{u} \) et \( (P) \) un plan de vecteur normal \( \overrightarrow{n} \).
- \( (D) \parallel (P) \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \) (i.e., \( \overrightarrow{u} \) est orthogonal à \( \overrightarrow{n} \)).
- \( (D) \perp (P) \iff \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{n} \) sont colinéaires.
7 — La sphère
7.1 Définition et équation
Soient \( \Omega(a, b, c) \) un point (le centre) et \(R > 0\) un réel (le rayon).
La sphère de centre \( \Omega \) et de rayon \(R\), notée \( S(\Omega, R) \), est l'ensemble des points \(M(x, y, z)\) tels que \( \Omega M = R \).
Dans un repère orthonormé, l'équation cartésienne de \( S(\Omega(a, b, c), R) \) est : \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2. \] Cette équation peut s'écrire sous la forme développée : \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, \] avec \( d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2 \).
7.2 Sphère de diamètre donné
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. La sphère de diamètre \([AB]\), notée \(S[AB]\), a pour équation : \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \quad \text{pour tout point } M. \] Si \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\), cette équation devient : \[ (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) + (z - z_A)(z - z_B) = 0. \] Son centre est le milieu \(I\) de \([AB]\) et son rayon est \( \dfrac{AB}{2} \).
7.3 Reconnaître une sphère à partir de son équation
Considérons l'ensemble \((E)\) défini par : \[ x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0. \] On pose \( \Delta = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 4\delta \).
- Si \( \Delta < 0 \), alors \( (E) = \varnothing \).
- Si \( \Delta = 0 \), alors \( (E) \) est le point \( \Omega\left(-\dfrac{\alpha}{2}, -\dfrac{\beta}{2}, -\dfrac{\gamma}{2}\right) \).
- Si \( \Delta > 0 \), alors \( (E) \) est la sphère de centre \( \Omega\left(-\dfrac{\alpha}{2}, -\dfrac{\beta}{2}, -\dfrac{\gamma}{2}\right) \) et de rayon \( R = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2} \).
8 — Positions relatives
8.1 Sphère et plan
Soient \( S(\Omega, R) \) une sphère et \( (P) \) un plan. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \( \Omega \) sur \( (P) \) et \( d = \Omega H = d(\Omega, (P)) \).
- Si \( d > R \) : \( (P) \cap S = \varnothing \). Le plan est extérieur à la sphère.
- Si \( d = R \) : \( (P) \cap S = \{H\} \). Le plan est tangent à la sphère en \(H\).
- Si \( d < R \) : \( (P) \cap S \) est un cercle de centre \(H\) et de rayon \( r = \sqrt{R^2 - d^2} \), contenu dans \( (P) \).
8.2 Sphère et droite
Soient \( S(\Omega, R) \) une sphère et \( (D) \) une droite. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \( \Omega \) sur \( (D) \) et \( d = \Omega H = d(\Omega, (D)) \).
- Si \( d > R \) : \( (D) \cap S = \varnothing \). La droite est extérieure à la sphère.
- Si \( d = R \) : \( (D) \cap S = \{H\} \). La droite est tangente à la sphère en \(H\).
- Si \( d < R \) : \( (D) \cap S = \{A, B\} \). La droite coupe la sphère en deux points distincts \(A\) et \(B\).
8.3 Plan tangent à une sphère
Soit \( S(\Omega, R) \) une sphère et \(A\) un point de \(S\). Il existe un unique plan \( (Q) \) tangent à \(S\) en \(A\).
Ce plan \( (Q) \) est le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \( \overrightarrow{\Omega A} \). Son équation est :
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{\Omega A} = 0 \quad \text{pour } M \in (Q).
\]
✖️ Chapitre 2 : Produit Vectoriel dans l'espace
1 — Orientation de l'espace – Trièdre – Base et repère orientés
1.1 Trièdre
Soient $[OI]$, $[OJ]$ et $[OK]$ trois demi-droites non coplanaires de l'espace.
Elles forment un trièdre, noté $(OI, OJ, OK)$.
Chaque demi-droite est appelée côté du trièdre.
1.2 Bonhomme d'Ampère
On considère une personne imaginaire (Bonhomme d'Ampère) placée de la manière suivante :
- Pieds en $O$, debout selon $[OK]$.
- Regard dirigé vers $[OI]$.
- Si sa main gauche pointe vers $[OJ]$, le trièdre est dit direct (ou positif).
- Sinon, le trièdre est dit rétrograde (ou négatif).
1.3 Base et repère orientés
On pose : \[ \vec{i} = \overrightarrow{OI}, \quad \vec{j} = \overrightarrow{OJ}, \quad \vec{k} = \overrightarrow{OK} \]
- Le triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base directe si le trièdre $(OI, OJ, OK)$ est direct.
- Le quadruplet $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est un repère direct.
- On dit alors que l'espace est orienté positivement.
2 — Définition géométrique du produit vectoriel
Soient $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ deux vecteurs de l'espace orienté.
Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (dans cet ordre) est le vecteur $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$, noté $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$, tel que :
- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.
- Sinon :
- $\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
- $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base directe.
- $\|\vec{w}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin \theta$, où $\theta = \widehat{BAC}$.
3 — Propriétés du produit vectoriel
3.1 Propriétés algébriques
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs, et $\alpha \in \R$.
- $\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}$, $\quad \vec{u} \wedge \vec{0} = \vec{0}$.
- Antisymétrie : $\vec{v} \wedge \vec{u} = -(\vec{u} \wedge \vec{v})$.
- Bilinéarité :
- $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$.
- $(\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w}$.
- $(\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \vec{u} \wedge (\alpha \vec{v}) = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$.
3.2 Condition de colinéarité
\[ \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}. \]
3.3 Interprétation géométrique : Aire
Soient $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$.
- $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$ est égale à l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
- L'aire du triangle $ABC$ est : \[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|. \]
3.4 Vecteur normal à un plan
Si $P(A, \vec{u}, \vec{v})$ est un plan, alors $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur normal à ce plan.
4 — Coordonnées dans une base orthonormée directe
4.1 Formule de calcul
Dans une base orthonormée directe $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, si : \[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}, \quad \vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k} \] alors : \[ \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \vec{k} \] ce qui équivaut à : \[ \vec{u} \wedge \vec{v} = (yz' - zy')\vec{i} - (xz' - zx')\vec{j} + (xy' - yx')\vec{k}. \]
4.2 Relations cycliques
Dans une base orthonormée directe $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ : \[ \vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k}, \quad \vec{j} \wedge \vec{k} = \vec{i}, \quad \vec{k} \wedge \vec{i} = \vec{j}. \]
5 — Distance d'un point à une droite dans l'espace
Soit $D(A, \vec{u})$ une droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
Soit $M$ un point de l'espace. La distance de $M$ à $D$ est donnée par :
\[
d(M, D) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}.
\]
6 — Règles pratiques pour l'orientation
6.1 Règle du tire-bouchon
Règle du tire-bouchon : Si on tourne un tire-bouchon de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$, le sens dans lequel il avance donne la direction de $\vec{u} \wedge \vec{v}$.
6.2 Règle de la main droite
Règle de la main droite :
- Pouce : direction de $\vec{u}$.
- Index : direction de $\vec{v}$.
- Majeur : direction de $\vec{u} \wedge \vec{v}$ (perpendiculaire à la paume).
6.3 Bonhomme d'Ampère
Bonhomme d'Ampère : Méthode visuelle pour déterminer si un trièdre est direct ou rétrograde.
7 — Tableau récapitulatif
| Notion | Expression analytique | Interprétation géométrique |
|---|---|---|
| Produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(xx' + yy' + zz'\) | \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\) |
| Norme \(\|\vec{u}\|\) | \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) | Longueur du vecteur |
| Produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) | \((yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx')\) | Vecteur orthogonal, aire = \(\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|\) |
| Produit mixte \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\) | \(\vec{u} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{w})\) | Volume du parallélépipède |
| Équation d'un plan | \(ax + by + cz + d = 0\) | Vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\) |
| Équations paramétriques d'une droite | \(M = A + t\vec{v}\) | Vecteur directeur \(\vec{v}\) |
OUADJI Jaouad | 2 Mo
OUADJI Jaouad | 1.2 Mo