Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2010 | Sphère, plan et droite | Dima20
Géométrie dans l'espace - Extrait d'Examen National — Session Normale 2010 | 2ème Bac Sciences Physiques BIOF
Géométrie dans l'espace Session Normale 2010
Énoncé

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \(A(-1, 0, 3)\), \(B(3, 0, 0)\) et \(C(7, 1, -3)\) et la sphère \((S)\) d'équation : \(x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y - 15 = 0\).

  1. 1 Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 3\vec{i} + 4\vec{k}\) et en déduire que \(3x + 4z - 9 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). (1 Pt)
  2. 2 Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est le point \(\Omega(3, 1, 0)\) et que son rayon est \(5\). (0,5 Pt)
  3. 3
    a Démontrer que : \(\begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = 1 \\ z = 4t \end{cases}\) \((t \in \mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de \((\Delta)\). (0,5 Pt)
    b Démontrer que la droite \((\Delta)\) coupe la sphère \((S)\) aux points \(E(6, 1, 4)\) et \(F(0, 1, -4)\). (1 Pt)
✓ Correction détaillée

1. Produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) et équation du plan \((ABC)\)

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB}(3 - (-1),\; 0 - 0,\; 0 - 3) = (4, 0, -3) \]
\[ \overrightarrow{AC}(7 - (-1),\; 1 - 0,\; -3 - 3) = (8, 1, -6) \]

Calculons \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & -3 \\ 8 & 1 & -6 \end{vmatrix} \]
\[ = \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -6 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 8 & -6 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \]
\[ = (0 \times (-6) - (-3) \times 1)\vec{i} - (4 \times (-6) - (-3) \times 8)\vec{j} + (4 \times 1 - 0 \times 8)\vec{k} \]
\[ = (0 + 3)\vec{i} - (-24 + 24)\vec{j} + (4 - 0)\vec{k} \]
\[ = 3\vec{i} + 0\vec{j} + 4\vec{k} \]
\[ \boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (3, 0, 4)} \]

Le plan \((ABC)\) passe par \(A(-1, 0, 3)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(3, 0, 4)\). Pour tout point \(M(x, y, z)\) de ce plan :

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ 3(x + 1) + 0(y - 0) + 4(z - 3) = 0 \]
\[ 3x + 3 + 4z - 12 = 0 \]
\[ 3x + 4z - 9 = 0 \]
\[ \boxed{(ABC) : 3x + 4z - 9 = 0} \]

2. Centre et rayon de la sphère \((S)\)

L'équation de la sphère est :

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y - 15 = 0 \]

On identifie les coefficients :

\[ x_\Omega = \frac{-6}{-2} = 3,\quad y_\Omega = \frac{-2}{-2} = 1,\quad z_\Omega = \frac{0}{-2} = 0 \]

Donc le centre de la sphère \((S)\) est :

\[ \boxed{\Omega(3, 1, 0)} \]

Calculons le rayon :

\[ R = \sqrt{(3)^2 + (1)^2 + (0)^2 - (-15)} = \sqrt{9 + 1 + 0 + 15} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ \boxed{R = 5} \]

3. a) Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

La droite \((\Delta)\) passe par \(\Omega(3, 1, 0)\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\).

Le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(3, 0, 4)\). Donc \((\Delta)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u} = \vec{n} = (3, 0, 4)\).

Pour tout point \(M(x, y, z)\) de \((\Delta)\), on a :

\[ \overrightarrow{\Omega M} = t \vec{u},\quad t \in \mathbb{R} \]

Ce qui donne :

\[ (x - 3,\; y - 1,\; z - 0) = t(3, 0, 4) \]

D'où la représentation paramétrique :

\[ \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = 1 \\ z = 4t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]
\[ \boxed{(\Delta) : \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = 1 \\ z = 4t \end{cases},\; t \in \mathbb{R}} \]

3. b) Intersection de la droite \((\Delta)\) avec la sphère \((S)\)

Pour déterminer les points d'intersection, on résout le système formé par l'équation de la sphère \((S)\) et la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y - 15 = 0 \\ x = 3 + 3t \\ y = 1 \\ z = 4t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R} \]

Remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l'équation de \((S)\) :

\[ (3 + 3t)^2 + (1)^2 + (4t)^2 - 6(3 + 3t) - 2(1) - 15 = 0 \]

Développons :

\[ 9 + 18t + 9t^2 + 1 + 16t^2 - 18 - 18t - 2 - 15 = 0 \]
\[ (9t^2 + 16t^2) + (18t - 18t) + (9 + 1 - 18 - 2 - 15) = 0 \]
\[ 25t^2 + (9 + 1 - 18 - 2 - 15) = 0 \]

Calculons la constante : \(9 + 1 = 10\), \(10 - 18 = -8\), \(-8 - 2 = -10\), \(-10 - 15 = -25\).

\[ 25t^2 - 25 = 0 \quad\Rightarrow\quad 25(t^2 - 1) = 0 \]
\[ t^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad t = 1 \text{ ou } t = -1 \]

Pour \(t = 1\) :

\[ x = 3 + 3 \times 1 = 6,\quad y = 1,\quad z = 4 \times 1 = 4 \quad\Rightarrow\quad E(6, 1, 4) \]

Pour \(t = -1\) :

\[ x = 3 + 3 \times (-1) = 0,\quad y = 1,\quad z = 4 \times (-1) = -4 \quad\Rightarrow\quad F(0, 1, -4) \]

Donc la droite \((\Delta)\) coupe la sphère \((S)\) aux points :

\[ \boxed{E(6, 1, 4) \text{ et } F(0, 1, -4)} \]
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